Стеинер 'с теорема , такође познат као паралелни осе теореме, за процену момента инерције проширене тела, око осе која је паралелна са другом пролазу кроз центар масе објекта.
Открио га је швајцарски математичар Јакоб Стеинер (1796 - 1863) и каже следеће: Нека је И ЦМ тренутак инерције објекта у односу на осовину која пролази кроз његово средиште масе ЦМ и ја з инерцијални тренутак у односу на другу осовину паралелно с тим.
Слика 1. Правоугаона врата која се окрећу на шаркама имају инерцијални тренутак који се може израчунати применом Стеинерове теореме. Извор: Пикабаи.
Знајући удаљеност Д која раздваја и осе и масу М дотичног тела, инерција у односу на непознату ос је:
Тренутак инерције указује на то колико је лако један предмет да се окреће око одређене оси. То не зависи само од масе тела, већ и од тога како је распоређен. Из тог разлога је позната и као ротациона инерција, јер су њене јединице у Међународном систему Кг. м 2 .
Теорема показује да је момент инерције И з увек већи од момента инерције И ЦМ за количину коју даје МД 2 .
Апликације
Будући да је објект способан да се окреће око бројних оси, а у табелама је обично дат само инерцијски тренутак у односу на ос која пролази кроз центроид, Стеинерова теорема олакшава прорачун када је потребно ротирати тела на осе које се не подударају са овим.
На пример, врата се обично не окрећу око осе кроз њен центар масе, већ око бочне осе, где се леже шарке.
Познавањем инерцијалног тренутка могуће је израчунати кинетичку енергију повезану са ротацијом око наведене осе. Ако је К кинетичка енергија, ја инерцијски тренутак око дотичне осе и ω угаона брзина, следи да:
Ова једначина је врло слична врло познатој формули кинетичке енергије за објект масе М који се креће брзином в: К = ½ Мв 2 . И ради се о томе да тренутак инерције или ротациона инерција И игра исту улогу у ротацији као маса М у преводу.
Доказ Стеинерове теореме
Тренутак инерције проширеног објекта је дефинисан као:
И = 2 р 2 дм
Где је дм инфинитезимални део масе и р је удаљеност између дм и осе ротације з. На слици 2 ова осовина прелази центар масе ЦМ, међутим може бити било која.
Слика 2. Предмет продужен у ротацији око две паралелне осе. Извор: Ф. Запата.
Око друге з оси, тренутак инерције је:
И з = ∫ (р ') 2 дм
Сада, према троуглу формираном векторима Д , р и р ' (види слику 2 са десне стране), постоји векторска сума:
р + р ' = Д → р' = Д - р
Три вектора леже у равни објекта, што може бити ки. Порекло координатног система (0,0) је изабрано у ЦМ да би се олакшало израчунавање које следи.
На овај начин квадратни модул вектора р ' је:
Сада је овај развој супституисан у интегралу момента инерције И з, а користи се и дефиниција густине дм = ρ.дВ:
Термин М Год 2 који се појављује у Стеинеровом теореме долази из првог интеграла, други је момент инерције у односу на осу која пролази кроз ЦМ.
Са своје стране, трећи и четврти интеграл су вредни 0, јер по дефиницији они чине позицију ЦМ, која је изабрана као извор координатног система (0,0).
Решене вежбе
-Решена вежба 1
Правоугаона врата на слици 1 имају масу од 23 кг, ширине 1,30 и висине 2,10 м. Одредите тренутак инерције врата у односу на осовину која пролази кроз шарке, претпостављајући да су врата танка и уједначена.
Слика 3. Схема за обрађени пример 1. Извор: модификовано из Пикабаи-а.
Решење
Из табеле инерцијских тачака, за правоугаону плочу масе М и димензијама а и б, тренутак инерције у односу на ос која пролази кроз њено средиште масе је: И ЦМ = (1/12) М (а 2 + б 2 ).
Претпоставља се хомогена капија (апроксимација, јер капија на слици вероватно није тако). У таквом случају центар масе пролази кроз његов геометријски центар. На слици 3 нацртана је осовина која пролази кроз средиште масе и такође је паралелна са оси која пролази кроз шарке.
И ЦМ = (1/12) к 23 Кг к (1,30 2 +2,10 2 ) м 2 = 11,7 Кг.м 2
Примјена Стеинерове теореме за зелену ос ротације:
И = И ЦМ + МД 2 = 11,7 Кг.м 2 + 23 Кг к 0,652 м 2 = 21,4 Кг.
-Решена вежба 2
Пронађите тренутак инерције хомогеног танког штапа када се окреће око осе која пролази кроз један од његових крајева, погледајте слику. Да ли је већи или мањи од инерцијалног момента када се окреће око свог центра? Зашто?
Слика 4. Схема за решени пример 2. Извор: Ф. Запата.
Решење
Према табели инерционих момената, момент инерције И ЦМ танког штапа масе М и дужине Л је: И ЦМ = (1/12) МЛ 2
А Стеинерова теорема каже да када се ротира око осе која пролази кроз један крај Д = Л / 2 остаје:
Већа је, иако не једноставно двоструко, али 4 пута више, јер се друга половица штапа (која није засјењена на слици) ротира описујући већи радијус.
Утицај растојања до оси ротације није линеаран, већ квадратни. Масовно која је двоструко растојање као други ће имати момент инерције пропорционална (2д) 2 = 4Д 2 .
Референце
- Бауер, В. 2011. Физика за инжењерство и науке. Свезак 1. Мц Грав Хилл. 313-340.
- Универзитет Џорџија. Ротацијско кретање. Опоравак од: пхис.нтху.еду.тв.
- Теорема паралелне осе. Опоравак од: хиперпхисицс.пхи-астр.гсу.еду.
- Рек, А. 2011. Основе физике. Пеарсон. 190-200.
- Википедиа. Теорема паралелне осе. Опоравак од: ен.википедиа.орг