ТОРРИЦЕЛЛИЈЕВА ТЕОРЕМА: ОД ЧЕГА СЕ САСТОЈИ, ФОРМУЛЕ И ВЈЕЖБЕ - ФИЗИЧКИ - 2025

Теорема Торрицелли или принцип Торрицелли наводи да је стопа течност излази из отвор у зиду тенка или контејнеру, идентична оној стиче се објекат слободно пада са висине једнак на површину без течности до рупе.

Теорем је илустрован на следећој слици:

Илустрација Торрицеллијеве теореме. Извор: селф маде.

Због Торрицеллијеве теореме можемо тада констатовати да је излазна брзина течности кроз отвор који је на висини х испод слободне површине течности дата следећом формулом:

Где је убрзање гравитације, а х је висина од рупе до слободне површине течности.

Евангелиста Торрицелли је физичар и математичар рођен у граду Фаенза, Италија 1608. Торрицелли је заслужан за проналазак барометра живе, а по признању постоји и јединица под притиском названа "торр", што је еквивалентно милиметру живе. (мм Хг).

Доказ теореме

У Торрицеллијевој теореми и у формули која даје брзину, претпоставља се да су губици вискозности занемарљиви, баш као што се и при слободном паду претпоставља да је трење услед ваздуха који окружује падајући објекат занемарљиво.

Горња претпоставка је у већини случајева разумна и укључује очување механичке енергије.

Да бисмо доказали теорему, прво ћемо пронаћи формулу за брзину објекта који се ослобађа са нултом почетном брзином, са исте висине као и површина течности у резервоару.

Принцип очувања енергије примењиваће се за добијање брзине падајућег предмета управо када се спусти висина х једнака оној од рупе до слободне површине.

Како нема губитака због трења, важи примењивање принципа очувања механичке енергије. Претпоставимо да падни предмет има масу м, а висина х се мери од излаза нивоа течности.

Пад објекта

Када се објект ослободи са висине једнаке висини слободне површине течности, његова енергија је само гравитациони потенцијал, пошто је његова брзина једнака нули, а самим тим и кинетичка енергија једнака нули. Потенцијалну енергију Еп дају:

Еп = мгх

Када прође испред отвора, његова висина је нула, тада је потенцијална енергија једнака нули, тако да има само кинетичку енергију Ец коју даје:

Ец = ½ мв ²

Пошто се енергија чува Еп = Ец од онога што се добија:

½ мв ² = мгх

Решавајући брзину в, тада се добија Торрицелли формула:

Из рупе излази текућина

Затим ћемо пронаћи излазну брзину течности кроз отвор, како бисмо показали да се поклапа са оном која је управо израчуната за слободно падајући објект.

За то ћемо се темељити на Берноуллијевом принципу, који није ништа друго него очување енергије примењене на течности.

Берноуллијев принцип је формулисан овако:

Тумачење ове формуле је следеће:

• Први израз представља кинетичку енергију течности по јединици запремине
• Други представља рад који се врши притиском по јединици површине попречног пресека
• Трећа представља гравитациону потенцијалну енергију по јединици запремине течности.

Полазећи од претпоставке да је то идеална течност, у не-турбулентним условима са релативно малим брзинама, тада је важно потврдити да је механичка енергија по јединици запремине у течности константна у свим њеним регионима или попречним пресецима.

У овој формули В је брзина течности, ρ густина течности, П притисак и з вертикални положај.

На слици испод приказана је Торрицеллијева формула која полази од Берноуллијевог принципа.

Берноуллијеву формулу примењујемо на слободној површини течности коју означавамо са (1) и на излазној рупи коју означавамо са (2). Нулти ниво главе изабран је уз излазни отвор.

Под претпоставком да је пресек у (1) много већи него у (2), тада можемо претпоставити да је брзина силаска течности у (1) практично занемарљива.

Из тог разлога је постављено В ₁ = 0, притисак коме је течност изложена (1) је атмосферски притисак, а висина измерена на отвору је х.

За одводни одељак (2) претпостављамо да је брзина на излазу в, притисак којем је течност изложена на излазу је такође атмосферски притисак, а висина излаза је нула.

Замените вредности које одговарају одељцима (1) и (2) у Берноуллијевој формули и поставите их на једнаке. Једнакост важи јер претпостављамо да је флуид идеалан и да нема губитака вискозног трења. Једном када су сви термини поједностављени, добија се брзина на излазном отвору.

Оквир изнад показује да је добијени резултат исти као објект који слободно пада,

Решене вежбе

Вежба 1

И ) Мала одводна цев резервоара за воду је 3 м испод површине воде. Израчунајте излазну брзину воде.

Решење:

Следећа слика показује како се Торрицеллијева формула користи у овом случају.

Вежба 2

ИИ ) Под претпоставком да излазна цев резервоара из претходне вежбе има пречник од 1 цм, израчунајте проток излаза воде.

Решење:

Брзина протока је запремина течности која излази по јединици времена, а израчунава се просто множењем површине излазног отвора са излазном брзином.

Следећа слика приказује детаље израчуна.

Вежба 3

ИИИ ) Одредите колико је слободна површина воде у посуди ако знате

да у рупи на дну посуде вода излази при 10 м / с.

Решење:

Чак и када се отвор налази на дну посуде, Торрицелли формула се и даље може применити.

Следећа слика приказује детаље израчуна.

Референце

1. Википедиа. Торрицеллијева теорема.
2. Хевитт, П. Концептуална физичка наука. Пето издање .119.
3. Млади, Хју. 2016. Универзитетска физика Сеарс-Земански са модерном физиком. 14. Ед Пеарсон. 384.