КОНТИНУИРАНА ПРОМЕНЉИВА: КАРАКТЕРИСТИКЕ, ПРИМЕРИ И ВЕЖБЕ - ФИЗИЧКИ - 2025

Континуирано променљива је онај који може да бесконачно много нумеричких вредности између две датих вредности, чак и ако та два вредности произвољно близу. Користе се за описивање мерљивих атрибута; на пример висина и тежина. Вриједности које непрекидна варијабла узима могу бити рационални бројеви, стварни бројеви или сложени бројеви, мада је потоњи случај статистички рјеђи.

Главна карактеристика континуираних варијабли је да се између две рационалне или стварне вредности увек може наћи друга, а између те друге и прве друге вредности може се наћи, и тако даље, у недоглед.

Слика 1. Кривуља представља непрекидну дистрибуцију, а шипке су дискретне. Извор: пикабаи

Претпоставимо, на пример, променљиву тежину у групи где најтежа тежи 95 кг, а најмања 48 кг; то би био распон променљиве и број могућих вредности је бесконачан.

На пример, између 50,00 и 50,10 кг може бити 50,01. Али између 50.00 и 50.01 може бити мера 50.005. То је континуирана променљива. С друге стране, ако би се у могућим мерењима тежине утврдила прецизност једне децимале, тада би употребљена променљива била дискретна.

Континуиране варијабле спадају у категорију квантитативних променљивих, јер са њима имају бројчану вредност. Помоћу ове бројчане вредности могуће је изводити математичке операције у распону од аритметичких до инфинитезималних метода прорачуна.

Примери

Већина променљивих у физици су непрекидне променљиве, међу њима можемо именовати: дужину, време, брзину, убрзање, енергију, температуру и друге.

Континуиране варијабле и дискретне варијабле

У статистици се могу дефинисати различите врсте променљивих, и квалитативне и квантитативне. Континуиране варијабле припадају другој категорији. Са њима је могуће изводити аритметичке и рачунске операције.

На пример, променљива х, која одговара људима висине између 1,50 м и 1,95 м, је континуирана променљива.

Упоредимо ову променљиву са овом: колико се пута бацање кованице појави у глави, које ћемо назвати н.

Променљива н може примити вредности између 0 и бесконачности, међутим н није континуирана променљива јер не може да преузме вредност 1.3 или 1.5, јер између вредности 1 и 2 нема друге. Ово је пример дискретне променљиве.

Вјежба континуираних варијабли

Размотрите следећи пример: машина производи шибице и пакује их у своју кутију. Дефинисане су две статистичке променљиве:

Номинална дужина шибице је 5,0 цм са толеранцијом од 0,1 цм. Број мечева по кутији је 50 са толеранцијом 3.

а) Наведите распон вриједности које Л и Н могу узети.

б) Колико вредности Л може узети?

ц) Колико вредности можете да примите?

У сваком случају наведите да ли је то дискретна или континуирана променљива.

Решење

Вриједности Л су у распону; то јест, вредност Л је у интервалу и променљива Л може примити бесконачне вредности између ова два мерења. Тада је то континуирана променљива.

Вредност променљиве н је у интервалу. Променљива н може узети само 6 могућих вредности у интервалу толеранције, то је тада дискретна променљива.

Вежбање

Ако, осим што су континуиране, вредности које је преузела променљива имају одређену вероватноћу појаве са њима, онда је то и континуирана случајна променљива. Врло је важно разликовати да ли је варијабла дискретна или континуирана, јер су вероватни модели применљиви на једну и другу.

Континуирана случајна варијабла је у потпуности дефинисана када су познате вредности за које се може претпоставити и вероватноћа да се свака од њих догоди.

Вежба 1 вероватноће

Произвођач шибица их прави на такав начин да је дужина штапова увек између вредности 4,9 цм и 5,1 цм, а нула изван тих вредности. Постоји вероватноћа да се добије штап који мери између 5,00 и 5,05 цм, мада бисмо могли да извучемо и један од 5,0003 цм. Да ли су ове вредности подједнако вероватне?

Решење

Претпоставимо да је густина вероватноће једнолика. Вероватноће проналаска подударања са одређеном дужином су наведене доле:

- Да је подударање у опсегу вероватноћа = 1 (или 100%), јер машина не извлачи подударања изван тих вредности.

-Препознавање подударања између 4,9 и 5,0 има вероватноћу = ½ = 0,5 (50%), пошто је половина опсега дужина.

-И вероватноћа да меч има дужину између 5,0 и 5,1 је такође 0,5 (50%)

-Зна се да не постоје траке за шибице које имају дужину између 5,0 и 5,2. Вероватноћа: нула (0%).

Вероватноћа проналаска чачкалице у одређеном распону

Сада посматрамо следеће вероватноће П добијања штапова чија је дужина између л ₁ и л ₂ :

-П да подударање има дужину између 5,00 и 5,05, означава се као П ():

-П да брдо има дужину између 5,00 и 5,01 је:

-П да брдо има дужину између 5.000 и 5.001 још мање:

Ако наставимо да смањујемо интервал да се приближимо и приближимо 5,00, вероватноћа да чачкалица буде тачно 5,00 цм је нула (0%). Оно што имамо је вероватноћа да ћемо наћи утакмицу у одређеном распону.

Вероватноћа проналаска више чачкалица у одређеном опсегу

Ако су догађаји независни, вероватноћа да се две чачкалице налазе у одређеном распону производ је њихове вероватноће.

-Вероватноћа да два штапића су између 5,0 и 5,1 је 0,5 * 0,5 = 0,25 (0,25%)

-Вероватноћа да је 50 чачкалица између 5,0 и 5,1 (0,5) ^ 50 = 9 × 10 ^ -16, то значи да је скоро нула.

-Вероватноћа да 50 чачкалица буде између 4,9 и 5,1 је (1) ^ 50 = 1 (100%)

-Већа 2 вероватноће

У претходном примеру је претпоставка да је вероватноћа у датом интервалу уједначена, али то није увек случај.

У случају стварне машине која производи чачкалице, вјероватноћа да је чачкалица на средишњој вриједности већа је него код једне од екстремних вриједности. С математичког становишта ово се моделира с функцијом ф (к) познатом као густоћа вјероватноће.

Вероватноћа да је мера Л између а и б израчуната је користећи одређени интеграл функције ф (к) између а и б.

Као пример, претпоставимо да желимо да нађемо функцију ф (к), која представља једнолику расподелу између вредности 4.9 и 5.1 из вежбе 1.

Ако је дистрибуција вероватноће једнака, тада је ф (к) једнака константи ц, која се одређује узимањем интеграла између 4,9 и 5,1 ц. Пошто је овај интеграл вероватноћа, резултат мора бити 1.

Слика 2. Уједначена густина вероватноће. (Властита обрада)

Што значи да ц вреди 1 / 0,2 = 5. То јест, једнообразна функција густине вероватноће је ф (к) = {5 ако је 4,9≤к≤5,1 и 0 изван овог распона. Уједначена функција густине вероватноће приказана је на слици 2.

Имајте на уму како је у интервалима исте ширине (на пример 0,02) вероватноћа иста у центру као и на крају распона континуиране променљиве Л (дужина чачкалице).

Реалнији модел би била функција густине вероватноће као што је следеће:

Слика 3. Неједнака функција густоће вероватноће. (Властита обрада)

На слици 3 може се видети како је вероватноћа проналаска чачкалица између 4,99 и 5,01 (ширина 0,02) већа од оне проналаска чачкалица између 4,90 и 4,92 (ширина 0,02)

Референце

1. Динов, Иво. Дискретне случајне варијабле и дистрибуције вероватноће. Преузето са: стат.уцла.еду
2. Дискретне и континуиране случајне променљиве. Преузето са: оцв.мит.еду
3. Дискретне случајне варијабле и дистрибуције вероватноће. Преузето са: хомепаге.дивмс.уиова.еду
4. Х. Писхро. Увод у вероватноћу. Опораван од: вероватноћа курса.цом
5. Менденхалл, В. 1978. Статистика за менаџмент и економију. Групо Едит Ибероамерицана. 103-106.
6. Проблеми случајних варијабли и модели вјероватних варијабли. Опоравак од: угр.ес.
7. Википедиа. Континуирана променљива. Опоравак са википедиа.цом
8. Википедиа. Променљива статистика. Опоравак са википедиа.цом.