ДИРЕКТОРСКИ ВЕКТОР: ЈЕДНАЧИНА ЛИНИЈЕ, РЕШЕНЕ ВЕЖБЕ - ФИЗИЧКИ - 2025

Директорски вектор подразумева се онај који дефинише правац линије, било у равни или у простору. Стога се вектор који је паралелан са линијом може сматрати директним вектором истог.

То је могуће захваљујући аксиому еуклидске геометрије који каже да двије тачке дефинирају линију. Тада оријентисани сегмент формиран од ове две тачке такође дефинише директорски вектор наведене линије.

Слика 1. Директорски вектор линије. (Властита обрада)

С обзиром на точку П која припада линији (Л) и датој директорском вектору у тој линији, линија је потпуно одређена.

Једнаџба вектора линије и директора

Слика 2. Једнаџба вектора линије и директора. (Властита обрада)

С обзиром на тачку П координата П: (Ксо, И) и вектор у директор линије (Л), свака тачка К координата К: (Кс, И) мора задовољити да је вектор ПК паралелан са у. Овај последњи услов је загарантован ако је ПК пропорционалан у :

ПК = т⋅ у

у горњем изразу т је параметар који припада стварним бројевима.

Ако су картезијанске компоненте ПК и у записане, горња једнаџба се пише на следећи начин:

(Кс-Ксо, И-Ио) = т⋅ (а, б)

Ако су компоненте векторске једнакости изједначене, добија се следећи пар једначина:

Кс - Ксо = а⋅ти И - И = б⋅т

Параметријска једначина правца

Кс и И координате тачке која припада линији (Л) која пролази кроз координатну тачку (Ксо, Ио) и која је паралелна са директорским вектором у = (а, б), одређују се додељивањем реалних вредности променљивом параметру т:

{Кс = Ксо + а⋅т; И = И + б⋅т}

Пример 1

Да бисмо илустровали значење параметријске једнаџбе линије, узмемо као директни вектор

у = (а, б) = (2, -1)

и као позната тачка линије тачка

П = (Ксо, И) = (1, 5).

Параметријска једнаџба линије је:

{Кс = 1 + 2⋅т; И = 5 - 1⋅т; -∞

За илустрацију значења ове једнаџбе приказана је слика 3, где се параметар т мења у вредности и тачка К координата (Кс, И) заузима различите положаје на линији.

Слика 3. ПК = т у. (Властита обрада)

Линија у векторском облику

С обзиром на тачку П на линији и њен директоријски вектор у, једнаџба линије може се написати у векторском облику:

ОК = ОП + λ⋅ у

У горњој једначини, К је било која тачка, али припада правцу и λ је стварни број.

Векторска једначина линије применљива је на било који број димензија, чак се може дефинисати и хипер-линија.

У тродимензионалном случају за директоријски вектор у = (а, б, ц) и тачку П = (Ксо, Ио, Зо) координате генеричке тачке К = (Кс, И, З) које припадају линији су :

(Кс, И, З) = (Ксо, Ио, Зо) + λ⋅ (а, б, ц)

Пример 2

Размотрите поново линију која има као усмјеравајући вектор

у = (а, б) = (2, -1)

и као позната тачка линије тачка

П = (Ксо, И) = (1, 5).

Векторска једначина наведене линије је:

(Кс, И) = (1,5) + λ (2, -1)

Континуирани облик линије и директоријски вектор

Полазећи од параметричног облика, брисања и изједначавања параметра λ, имамо:

(Кс-Ксо) / а = (И-Ио) / б = (З-Зо) / ц

Ово је симетрични облик једначине правца. Имајте на уму да су а, б и ц компоненте директорског вектора.

Пример 3

Размотримо линију која има као усмерни вектор

у = (а, б) = (2, -1)

и као позната тачка линије тачка

П = (Ксо, И) = (1, 5). Пронађите његов симетрични облик.

Симетрични или континуирани облик линије је:

(Кс - 1) / 2 = (И - 5) / (- 1)

Општи облик једначења линије

Општи облик линије у равнини КСИ познат је као једначина која има следећу структуру:

А⋅Кс + Б⋅И = Ц

Израз за симетрични облик може се преписати да би имао општи облик:

б⋅Кс - а⋅И = б⋅Ксо - а⋅Ио

упоређујући са општим обликом линије то је:

А = б, Б = -а и Ц = б⋅Ксо - а⋅Ио

Пример 3

Пронађите општи облик линије чији је директоријски вектор у = (2, -1)

и која пролази кроз тачку П = (1, 5).

Да бисмо пронашли опћу форму, можемо користити дате формуле, међутим, изабран је алтернативни пут.

Започињемо проналажењем двоструког вектора в директорског вектора у, дефинисаног као вектор добијеног разменом компоненти у и множењем другог са -1:

в = (-1, -2)

дуални вектор в одговара ротацији режима вектора в . за 90 ° у смеру казаљке на сату .

Скаларно множимо в са (Кс, И) и са (Ксо, Ио) и постављамо једнако:

(-1, -2) • (Кс, И) = (-1, -2) • (1, 5)

-Кс-2И = -1 -2,5 = -11

преостало коначно:

Кс + 2И = 11

Стандардни облик једначења линије

Познат је као стандардни облик линије у равнини КСИ, онај који има следећу структуру:

И = м⋅Кс + д

где м представља нагиб и д пресретање са оси И.

С обзиром на вектор правца у = (а, б), нагиб м је б / а.

И д је добијен заменом Кс и И за познату тачку Ксо, И:

И = (б / а) Ксо + д.

Укратко, м = б / а и д = И - (б / а) Ксо

Имајте на уму да је нагиб м квоцијент између и компоненте директорског вектора и к његове компоненте.

Пример 4

Пронађите стандардни облик линије чији је директоријски вектор у = (2, -1)

и која пролази кроз тачку П = (1, 5).

м = -½ и д = 5 - (-½) 1 = 11/2

И = (-1/2) Кс + 11/2

Решене вежбе

-Вежба 1

Пронађите директоријски вектор линије (Л) који је пресек равнине (Π): Кс - И + З = 3 и равнине (Ω): 2Кс + И = 1.

Затим напишите континуирани облик једначине линије (Л).

Решење

Из једначине равнинског (Ω) ​​зазора И: И = 1 -2Кс

Затим једначину равнине (Π) замјењујемо:

Кс - (1 - 2Кс) + З = 3 ⇒ 3Кс + З = 4 ⇒ З = 4 - 3Кс

Затим параметризирамо Кс, бирамо параметризацију Кс = λ

То значи да линија има векторску једначину коју даје:

(Кс, И, З) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)

која се може преписати као:

(Кс, И, З) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)

са којим је јасно да је вектор у = (1, -2, -3) директни вектор линије (Л).

Континуирани облик линије (Л) је:

(Кс - 0) / 1 = (И - 1) / (- 2) = (З - 4) / (- 3)

-Вежба 2

С обзиром на равнину 5Кс + а И + 4З = 5

и линија чија је једначина Кс / 1 = (И-2) / 3 = (З -2) / (- 2)

Одредите вредност такве да су равнина и линија паралелни.

Решење 2

Вектор н = (5, а, 4) је вектор нормалан за равнину.

Вектор у = (1, 3, -2) је директни вектор линије.

Ако је линија паралелна са равнином, тада је н • в = 0.

(5, а, 4) • (1, 3, -2) = 5 +3 а -8 = 0 ⇒ а = 1.

Референце

1. Флеминг, В., Варберг, ДЕ (1989). Прекалцулус Матхематицс. Прентице Халл ПТР.
2. Колман, Б. (2006). Линеарна алгебра. Пеарсон Едуцатион.
3. Леал, ЈМ, & Вилориа, НГ (2005). Равна аналитичка геометрија. Мерида - Венецуела: Уредништво Венезолана ЦА
4. Наварро, Роцио. Вектори. Опоравак од: боокс.гоогле.цо.ве.
5. Перез, ЦД (2006). Прекалкулација. Пеарсон Едуцатион.
6. Преновитз, В. 2012. Основни појмови геометрије. Ровман & Литтлефиелд.
7. Сулливан, М. (1997). Прекалкулација. Пеарсон Едуцатион.