- Како до нормалног вектора доћи до авиона?
- Нормални вектор из векторског производа
- Пример
- Решење
- Прорачун векторског производа
- Једначење равнине
- Референце
Вектор нормале је онај који дефинише правцу нормалном на неки геометријски ентитет се разматра, које може бити крива, равни или површину, на пример.
Врло је користан концепт за позиционирање покретне честице или неке површине у простору. На следећем графикону могуће је видети како изгледа нормалан вектор према произвољној кривуљи Ц:
Слика 1. Кривуља Ц са вектором нормалним на кривуљу у тачки П. Извор: Свјо
Размотрите тачку П на кривуљи Ц. Тачка може представљати покретну честицу која се креће стазом у облику слова Ц. Тангента на кривуљу у тачки П нацртана је црвеном бојом.
Имајте на уму да је вектор Т тангентан на Ц у свакој тачки, док је вектор Н окомит на Т и указује на средиште замишљеног круга чији је лук сегмент Ц. Вектори су у штампаном тексту означени подебљаним тиском, за разликовати их од осталих векторских величина.
Вектор Т увек означава где се честица креће, па показује брзину честице. С друге стране, вектор Н увек упућује у правцу у коме се честица окреће, на овај начин означава конкавност кривине Ц.
Како до нормалног вектора доћи до авиона?
Нормални вектор није нужно јединични вектор, то јест вектор чији је модул 1, али ако је тако, назива се нормалним јединичним вектором.
Слика 2. Са леве стране је равнина П и два вектора нормална за поменуту равнину. Са десне стране јединица вектора у три правца која одређују простор. Извор: Викимедиа Цоммонс. Погледајте страницу за аутора
У многим апликацијама потребно је познавати вектор нормалан на равнину, а не криву. Овај вектор открива оријентацију наведене равни у простору. На пример, узмите у обзир равнину П (жута) слике:
На овој равнини постоје два нормална вектора: н 1 и н 2 . Употреба једне или друге зависи од контекста у коме се речена равнина налази. Добијање нормалног вектора на равнину врло је једноставно ако је позната једначина равни:
Овде је вектор Н изражен помоћу вектора окомите јединице и , ј и к , усмерених дуж три правца која одређују киз простор, погледајте слику 2 десно.
Нормални вектор из векторског производа
Врло једноставан поступак проналажења нормалног вектора користи својства векторског производа између два вектора.
Као што је познато, три различите тачке, које нису колинеарне једна са другом, одређују равнину П. Сада је могуће добити два вектора у и в која припадају наведеној равнини која има ове три тачке.
Једном када се добију вектори, векторски производ у к в је операција чији је резултат заузврат вектор који има својство да буде окомит на равнину одређену у и в .
Познат овај вектор, означен је са Н , а из њега ће се моћи одредити једнаџба равнине захваљујући једначини која је наведена у претходном одељку:
Н = у к в
Следећа слика илуструје описани поступак:
Слика 3. С два вектора и њиховим векторским продуктом или крижом одређује се једначина равни која садржи два вектора. Извор: Викимедиа Цоммонс. Није доступан аутор за читање машина. М.Ромеро Сцхмидтке претпоставио (на основу тврдњи о ауторским правима).
Пример
Пронађите једнаџбу равнине која је одређена тачкама А (2,1,3); Б (0,1,1); Ц (4.2.1).
Решење
Ова вежба илуструје поступак описан горе. Имајући 3 тачке један се бира као заједничко порекло два вектора који припадају равнини дефинисаној овим тачкама. На пример, тачка А је постављена као извор и вектори АБ и АЦ су конструисани .
Вектор АБ је вектор чија је почетна тачка А и чија је крајња тачка Б. Тачка координате вектора АБ је одређена одузимањем координата Б од координата А:
На исти начин настављамо да пронађемо вектор АЦ :
Прорачун векторског производа
Постоји неколико поступака за проналажење унакрсног производа између два вектора. Овај пример користи мнемоничку процедуру која користи следећу слику да би пронашла векторске производе између векторских јединица и , ј и к:
Слика 4. Графикон за одређивање векторског продукта између јединичних вектора. Извор: селф маде.
За почетак је добро запамтити да су векторски производи између паралелних вектора неважни, дакле:
и к и = 0; ј к ј = 0; к к к = 0
А будући да је векторски производ други вектор окомит на векторе који учествују, крећући се у смеру црвене стрелице, имамо:
Ако се морате кретати у супротном смеру од стрелице, додајте знак (-):
Укупно је могуће направити 9 векторских производа са јединичним векторима и , ј и к , од којих ће 3 бити нула.
АБ к АЦ = (-2 и + 0 ј -2 к ) к (2 и + ј -2 к ) = -4 ( и к и ) -2 ( и к ј ) +4 ( и к к ) +0 ( ј к и ) + 0 ( ј к ј ) - 0 ( ј к к ) - 4 ( к к и ) -2 ( к к ј ) + 4 ( к к к ) = -2 к -4ј -4 ј +2 и = 2 и -8 ј -2 к
Једначење равнине
Вектор Н је одређен векторским производом претходно израчунатим:
Н = 2 и -8 ј -2 к
Стога је а = 2, б = -8, ц = -2, тражена равнина је:
Вредност д остаје да се утврди. То је лако ако су вредности било које од расположивих тачака А, Б или Ц супституисане у једначини равнине. Одабир Ц на пример:
к = 4; и = 2; з = 1
Остаци:
Укратко, тражена карта је:
Радознао читалац може се запитати да ли би исти резултат био постигнут ако је умјесто АБ к АЦ изабрано да уради АЦ к АБ. Одговор је да, равнина одређена овим трима тачкама је јединствена и има два нормална вектора, као што је приказано на слици 2.
Што се тиче тачке која је одабрана као извор вектора, нема проблема да се изабере било који од друга два.
Референце
- Фигуероа, Д. (2005). Серија: Физика за науку и инжењерство. Том 1. Кинематика. Уредио Доуглас Фигуероа (УСБ). 31- 62.
- Проналажење нормале у авиону. Опоравак од: веб.ма.утекас.еду.
- Ларсон, Р. (1986). Израчун и аналитичка геометрија. Мц Грав Хилл. 616-647.
- Линије и авиони у Р 3. Опоравак од: матх.харвард.еду.
- Нормални вектор. Опоравак од матхворлд.волфрам.цом.