ПРОРАЧУН АПРОКСИМАЦИЈА ПОМОЋУ ДИФЕРЕНЦИЈАЛА - МАТХС - 2025

Приближна вредност у математици је број који није тачна вредност нечега, али је толико близу да се сматра корисном колико и тачна вредност.

Када се извршавају апроксимације у математици, то је зато што је ручно тешко (или понекад немогуће) знати тачну вредност онога што желите.

Главни алат у раду с апроксимацијама је разлика функције.

Диференцијал функције ф, означен са Δф (к), није ништа друго до изведеница функције ф која је измена независне променљиве, односно Δф (к) = ф '(к) * Δк.

Понекад се уместо Δф и Δк користе дф и дк.

Апроксимације користећи диференцијал

Формула која се примењује за апроксимацију кроз разлику произлази управо из дефиниције деривата функције као границе.

Ову формулу даје:

ф (к) ≈ ф (к0) + ф '(к0) * (к-к0) = ф (к0) + ф' (к0) * Δк.

Овде се разуме да је к = к-к0, дакле к = к0 + Δк. Помоћу ове формуле може се преписати као

ф (к0 + Δк) ≈ ф (к0) + ф '(к0) * Δк.

Треба напоменути да "к0" није произвољна вредност, већ вредност таква да је ф (к0) лако познат; штавише, „ф (к)“ је само вредност коју желимо приближити.

Постоје ли боља апроксимација?

Одговор је да. Наведено је најједноставнија од апроксимација названих "линеарна апроксимација".

За апроксимације бољег квалитета (направљена грешка је мања) користе се полиноми са више деривата који се називају "Таилор-полиноми", као и друге нумеричке методе попут Невтон-Рапхсон-ове методе.

Стратегија

Стратегија коју треба следити је:

- Изаберите одговарајућу функцију ф за извршавање апроксимације и вредност «к» тако да је ф (к) вредност која ће се апроксимирати.

- Изаберите вредност "к0", која је близу "к", тако да је ф (к0) лако израчунати.

- Израчунајте Δк = к-к0.

- Израчунајте дериват функције и ф '(к0).

- Замените податке у формули.

Решене вежбе апроксимације

У наставку се налази низ вежби где се врше апроксимације користећи диференцијал.

Прва вежба

Отприлике √3.

Решење

Следећи стратегију, мора се изабрати одговарајућа функција. У овом случају се може видети да функција коју треба одабрати мора бити ф (к) = √к, а вредност која се апроксимира је ф (3) = √3.

Сада морамо изабрати вредност „к0“ која је близу „3“, тако да је ф (к0) лако израчунати. Ако је изабрано „к0 = 2“, тада је „к0“ близу „3“, али ф (к0) = ф (2) = √2 није лако израчунати.

Одговарајућа вредност „к0“ је „4“, пошто је „4“ близу „3“ и такође ф (к0) = ф (4) = √4 = 2.

Ако су "к = 3" и "к0 = 4", тада је Δк = 3-4 = -1. Сада настављамо да израчунавамо дериват ф. То јест, ф '(к) = 1/2 * √к, па је ф' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Замјена свих вриједности у добивеној формули:

√3 = ф (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75.

Ако користите калкулатор, добићете √3≈1.73205 … То показује да је претходни резултат добра апроксимација стварне вриједности.

Друга вежба

Отприлике √10.

Решење

Као и раније, ф (к) = √ки је изабран као функција, у овом случају к = 10.

Вриједност к0 за одабир овог времена је "к0 = 9". Затим имамо да је кк = 10-9 = 1, ф (9) = 3 и ф '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Када се вреднује у формули, добија се да

√10 = ф (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666…

Помоћу калкулатора добије се да је √10 ≈ 3.1622776 … Овде се такође може видети да је раније добијена добра апроксимација.

Трећа вежба

Приближно √10, где ³√ означава корен коцке.

Решење

Јасно да је функција која ће се користити у овој вежби ф (к) = ³√к и вредност "к" мора бити "10".

Вредност блиска "10", тако да је познат њен корен коцке, је "к0 = 8". Тада имамо Δк = 10-8 = 2 и ф (к0) = ф (8) = 2. Такође имамо ф '(к) = 1/3 * ³√к², а самим тим и ф' (8) = 1/3 * √√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Заменом података у формули добија се да:

√√10 = ф (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666….

Калкулатор каже да је √10 ≈ 2.15443469… Дакле, пронађена апроксимација је добра.

Четврта вежба

Приближан лн (1.3), где "лн" означава функцију природног логаритма.

Решење

Прво бирамо као функцију ф (к) = лн (к), а вредност "к" је 1,3. Сада, знајући мало о функцији логаритма, можемо знати да је лн (1) = 0, а даље је „1“ близу „1.3“. Због тога се бира "к0 = 1" и тако је Δк = 1.3 - 1 = 0.3.

С друге стране, ф '(к) = 1 / к, тако да је ф' (1) = 1. Приликом евалуације у датој формули имамо:

лн (1.3) = ф (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3.

Помоћу калкулатора имамо тај лн (1.3) ≈ 0.262364… Дакле, направљена апроксимација је добра.

Референце

1. Флеминг, В., Варберг, ДЕ (1989). Прекалцулус Матхематицс. Прентице Халл ПТР.
2. Флеминг, В., Варберг, ДЕ (1989). Прекалкулусна математика: приступ решавању проблема (2, Илустровано изд.). Мицхиган: Прентице Халл.
3. Флеминг, В., Варберг, Д. (1991). Алгебра и тригонометрија са аналитичком геометријом. Пеарсон Едуцатион.
4. Ларсон, Р. (2010). Прекалкулус (8 ед.). Ценгаге Леарнинг.
5. Леал, ЈМ, & Вилориа, НГ (2005). Равна аналитичка геометрија. Мерида - Венецуела: Уредништво Венезолана ЦА
6. Перез, ЦД (2006). Прекалкулација. Пеарсон Едуцатион.
7. Пурцелл, ЕЈ, Варберг, Д. и Ригдон, СЕ (2007). Израчун (Девето издање). Прентице Халл.
8. Саенз, Ј. (2005). Диференцијални рачун с раним трансцендентним функцијама за науку и инжењерство (друго издање, ед.). Хипотенусе.
9. Сцотт, Калифорнија (2009). Картезијанска геометрија равни, део: Аналитички коники (1907) (репринт ед.). Извор муње.
10. Сулливан, М. (1997). Прекалкулација. Пеарсон Едуцатион.