КОНГРЕСНОСТ: КОНГРУЕНТНЕ ФИГУРЕ, КРИТЕРИЈУМИ, ПРИМЕРИ, ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

Подударност у геометрији каже да ако два авион фигуре имају у исти облик и димензије, то су подударни. На пример, два сегмента су у складу када су њихове дужине једнаке. Исто тако, конгруентни углови имају исту меру иако нису равномерно усмерени на равноправност.

Израз "конгруенција" потиче од латинског Конгруентиа, чије значење је кореспонденција. Дакле, две конгруентне фигуре тачно одговарају једна другој.

Слика 1. Четверокутници АБЦД и А'Б'Ц'Д 'на слици су уједначени: њихове стране имају исту меру као и њихови унутрашњи углови. Извор: Ф. Запата.

На пример, ако на слици ставимо два четверострана, открићемо да су оне у складу, пошто је распоред њихових страна идентичан и мере исто.

Постављањем четворострана АБЦД и А'Б'Ц'Д 'један на други, бројке ће се тачно подударати. Подударне стране се називају хомологним или одговарајућим странама, а симбол ≡ користи се за изражавање конгруенције. Дакле, можемо рећи да је АБЦД ≡ А'Б'Ц'Д '.

Критеријуми конгруенце

Следеће карактеристике су заједничке за конгруентне полигоне:

-Исти облик и величина.

-Идентицна мерења њихових углова.

- Иста мера на свакој од његових страна.

У случају да су два дотична полигона правилна, односно да све стране и унутрашњи углови мере исто, усклађеност је обезбеђена када је испуњен било који од следећих услова:

- Стране су уједначене

- Апотеми имају исту меру

-Р радијус сваког полигона мери исто

Апотема правилног полигона је растојање између центра и једне од страна, док радијус одговара растојању између средишта и врха или угла фигуре.

Критеријуми конгруенције се често користе јер се толико много делова и комада производи у масовној производњи и морају имати исти облик и мере. На тај се начин могу лако заменити када је то потребно, на пример матице, вијци, лимови или поплочани камен на тлу на улици.

Слика 2. Улични каменци су складне фигуре, јер су им облик и димензије потпуно исте, мада се оријентација на поду може мењати. Извор: Пикабаи.

Конгруенција, идентитет и сличност

Постоје геометријски појмови повезани са конгруенцијом, на пример идентичне фигуре и сличне фигуре, које не морају нужно да подразумевају да су фигуре у складу.

Имајте на уму да су конгруентне фигуре идентичне, али четворострани на слици 1 могу се на различите начине усмерити на равнину и још увек остају конгруентни, будући да различита оријентација не мења величину њихових страна или њихових углова. У том случају више не би биле идентичне.

Други концепт је сличност фигура: две равнине су сличне ако имају исти облик и њихови унутрашњи углови мере исти, мада величина фигура може бити различита. Ако је то случај, бројке нису у складу.

Примери конгруенције

- конгруенција углова

Као што смо навели на почетку, конгруентни углови имају исту меру. Постоји неколико начина за добијање конгруентних углова:

Пример 1

Две линије са заједничком тачком одређују два угла, названа супротним угловима због врха. Ови углови имају исту меру, па су конгруентни.

Слика 3. Супротни углови према вертексу. Извор: Викимедиа Цоммонс.

Пример 2

Постоје две паралелне линије плус линија т која се пресијеца. Као и у претходном примеру, када ова линија пресијеца паралеле, ствара конгруентне углове, један на свакој линији са десне стране и други са лијеве стране. Слика приказује α и α ₁ , десно од линије т, које су конгруентне.

Слика 4. Углови приказани на слици су складни. Извор: Викимедиа Цоммонс. Лфахлберг / ЦЦ БИ-СА (хттпс://цреативецоммонс.орг/лиценсес/би-са/3.0).

Пример 3

У паралелограму се налазе четири унутрашња угла која су једнака два до два. Они су они између супротних врхова, као што је приказано на следећој слици, где су два угла у зеленој боји једнака, као и два угла црвена.

Слика 5. Унутрасњи углови паралелограма су једнаки два по два. Извор: Викимедиа Цоммонс.

- Конгресност троуглова

Два троугла истог облика и величине су једнака. Да би се ово верификовало, постоје три критеријума која се могу испитати у потрази за конгруенцијом:

- ЛЛЛ критеријум : три стране троуглова имају исте мере, дакле Л ₁ = Л ' ₁ ; Л ₂ = Л ' ₂ и Л ₃ = Л' _3.

Слика 6. Пример конгруентних троуглова чија се страна мери исто. Извор: Ф. Запата.

- АЛА и ААЛ критеријуми : троуглови имају два једнака унутрашња угла, а страна између ових углова има исту меру.

Слика 7. АЛА и ААЛ критеријуми за конгруенцију троугла. Извор: Викимедиа Цоммонс.

- ЛАЛ критеријум : две стране су идентичне (одговарајуће) и постоји исти угао између њих.

Слика 8. Критеријум ЛАЛ за конгруенцију троуглова. Извор: Викимедиа Цоммонс.

Решене вежбе

- Вежба 1

На следећој слици приказана су два троугла: ΔАБЦ и ΔЕЦФ. Познато је да је АЦ = ЕФ, да је АБ = 6 и да је ЦФ = 10. Штавише, углови ∡БАЦ и ∡ФЕЦ су конгруентни, а углови ∡АЦБ и ∡ФЦБ су такође конгентни.

Слика 9. Троугли за обрађени пример 1. Извор: Ф. Запата.

Тада је дужина сегмента БЕ једнака:

(и) 5

(ии) 3

(иии) 4

(ив) 2

(в) 6

Решење

Како два троугла имају страну једнаке дужине АЦ = ЕФ између једнаких углова ∡БАЦ = ∡ЦЕФ и ∡БЦА = ∡ЦФЕ, може се рећи да су два троугла сукладна критеријуму АЛА.

То је, ΔБАЦ ≡ ΔЦЕФ, тако да морамо:

БА = ЦЕ = АБ = 6

БЦ = ЦФ = 10

АЦ = ЕФ

Али сегмент који се израчунава је БЕ = БЦ - ЕЦ = 10 - 6 = 4.

Дакле, тачан одговор је (иии).

- Вежба 2

На цртежу су приказана три троугла. Такође је познато да два наведена углова мере 80º сваки и да су сегменти АБ = ПД и АП = ЦД. Пронађите вредност угла Кс назначеног на слици.

Слика 10. Трокути за решени пример 2. Извор: Ф. Запата.

Решење

Морате да примените својства троуглова, која су детаљно описана корак по корак.

Корак 1

Полазећи од критеријума конгруенције троугла ЛАЛ, може се рећи да су троуглови БАП и ПДЦ сукладни:

ΔБАП ≡ ΔПДЦ

Корак 2

Ово доводи до потврде да је БП = ПЦ, дакле троугао ΔБПЦ је изосцелес и ∡ПЦБ = ∡ПБЦ = Кс.

3. корак

Ако називамо угао БПЦ γ, произлази да:

2к + γ = 180º

4. корак

А ако називамо углове АПБ и ДЦП β и α угловима АБП и ДПЦ, имамо:

α + β + γ = 180º (пошто је АПБ раван угао).

Корак 5

Даље, α + β + 80º = 180º према збиру унутрашњих углова троугла АПБ.

Корак 6

Комбинујући све ове изразе имамо:

α + β = 100º

Корак 7

И стога:

γ = 80º.

Корак 8

Коначно следи да:

2Кс + 80º = 180º

Са Кс = 50º.

Референце

1. Балдор, А. 1973. Геометрија планета и свемира. Средњоамеричка културна.
2. Фондација ЦК-12. Конгруентни полигони. Опоравак од: цк 12.орг.
3. Уживајте у математици. Дефиниције: радијус (полигон). Опоравак од: ењоласматематицас.цом.
4. Отворена математичка референца. Испитивање полигона на конгруенцију. Опоравак од: матхопенреф.цом.
5. Википедиа. Конгруенција (геометрија). Опоравак од: ес.википедиа.орг.
6. Запата, Ф. Троугли, историја, елементи, класификација, својства. Опоравак од: лифедер.цом.