ИЗВОД КОТАНГЕНТА: ПРОРАЧУН, ДОКАЗ, ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

Дериват Котангенс једнака супротност квадрату косекант "-Цсц ² ". Ова формула се покорава законима деривата по дефиницији и диференцијацији тригонометријских функција. Означава се на следећи начин:

д (цтг у) = -цсц ² у. ду

Где "ду" симболизује израз изведен из функције аргумента у односу на независну променљиву.

Извор: Пикабаи.цом

Како се израчунава?

Процедура за развој ових деривата је прилично једноставна. Довољно је само да правилно идентификујете аргумент и врсту функције коју представља.

На пример, израз Цтг (ф / г) има поделу у свом аргументу. Ово ће захтевати диференцијацију у У / В-у, након развијања деривата котангента.

Котангенс је реципрочан тангенте. Алгебратски то значи да:

(1 / тг к) = цтг к

Цтг к = Цос к / Сен к

Нетачно је рећи да је функција котангента "инверзна" тангенте. То је зато што је инверзна тангенцијска функција по дефиницији лучна тангента.

(Тг ^-1 к) = арктг к

Према питагоровској тригонометрији, котангенс је укључен у следећим одељцима:

Цтг к = (цос к) / (син к)

Цтг ² к + 1 = Цсц ² к

Према аналитичкој тригонометрији, он реагује на следеће идентитете:

Цтг (а + б) = (1 - тг а. Тг б) / (тг а + тг б)

Цтг (а - б) = (1 + тг а. Тг б) / (тг а - тг б)

Цтг (2а) = (1 - тг ² а) / (2тг а)

Карактеристике котангенс функције

Неопходно је анализирати различите карактеристике функције ф (к) = цтг к да би се дефинисали аспекти потребни за проучавање њене различитости и примене.

Вертикалне асимптоте

Функција котангента није дефинирана на вриједностима због којих израз "Сенк" постаје нула. Због свог еквивалентног Цтг к = (цос к) / (син к), имаће неодређеност у свим „нπ“ са н који припадају целим бројевима.

Односно, у свакој од ових вредности к = нπ постојаће вертикална асимптота. Како се приближавате са леве стране, вредност котангента ће се брзо смањивати, а како се приближавате са десне стране, функција ће се повећавати у недоглед.

Домен

Домена функције котангента изражава се скупом {к ∈ Р / к = нπ, н ∈ З}. Ово се чита као „к који припада скупу реалних бројева тако да је к различит од нπ, а н припада скупу целих бројева“.

Ранк

Распон котангенс функције је од минус до плус бесконачност. Стога се може закључити да је његов ранг скуп реалних бројева Р.

Фреквенција

Функција котангента је периодична и њен период је једнак π. На овај начин се испуњава једнакост Цтг к = Цтг (к + нπ), где н припада З.

Понашање

То је непарна функција, јер је Цтг (-к) = - Цтг к. На овај начин је познато да функција представља симетрију у односу на координатно порекло. Такође представља смањење сваког интервала који се налази између две узастопне вертикалне асимптоте.

Он нема максималне или минималне вредности због чињенице да његове апроксимације вертикалних асимптота представљају понашања у којима се функција повећава или смањује у недоглед.

Нулте или коријени функције котангента налазе се у непарним множењима π / 2. То значи да Цтг к = 0 држи за вредности облика к = нπ / 2 са н непарним целим бројем.

Демонстрација

Постоје два начина да се докаже дериват функције котангента.

Тригонометријски диференцијални доказ

Доказана је деривација котангенс функције из њеног еквивалента у синусима и косинусима.

Третира се као дериват поделе функција

Након добивања фактори се групишу и циљ је да се опонаша питагорејски идентитет

Замјена идентитета и примјењивање реципроцитета, израз

Доказ по дефиницији деривата

Следећи израз по дефиницији одговара изведеници. Тамо где се удаљеност између 2 тачке функције приближава нули.

Замјену котангента имамо:

Идентитети се примењују за збир аргумената и реципроцитета

Традиционално се користи део бројача

Елиминишући супротне елементе и узимајући заједнички фактор, добијамо

Примењујући питагорејски идентитет и реципроцитет морамо

Елементи оцењени у к су константни у односу на границу, па могу оставити аргумент овог. Тада се примењују својства тригонометријских граница.

Лимит се процењује

Затим се узима у обзир док се не постигне жељена вредност

На тај начин је дериват котангента приказан као супротност квадрата косецнта.

Решене вежбе

Вежба 1

На основу функције ф (к) дефинирајте израз ф '(к)

Одговарајућа изведба примењује се поштујући правило ланца

Извођење аргумента

Понекад је потребно применити реципрочни или тригонометријски идентитет да бисте прилагодили решења.

Вежба 2

Дефинишите диференцијални израз који одговара Ф (к)

Према формули за извођење и поштујући правило ланца

Аргумент је изведен, док остатак остаје исти

Извођење свих елемената

Радећи на традиционалан начин, производи исте базе

Додају се једнаки елементи и екстрахира се заједнички фактор

Знакови су поједностављени и управљани. Дајући пут потпуно изведеном изразу

Референце

1. Тригонометријска серија, свезак 1. А. Зигмунд. Цамбридге Университи Пресс, 2002
2. Израчун јединствене променљиве. Рон Ларсон, Бруце Х. Едвардс. Ценгаге Леарнинг, 10. новембра 2008
3. Израчун са тригонометријом и аналитичком геометријом. Јохн Х. Сакон, Јохн Сакон, Франк Ванг, Диана Харвеи. Сакон Публисхерс, 1988
4. Мултиваријабилна анализа. Сатисх Схирали, Харкрисхан Лал Васудева. Спрингер Сциенце & Бусинесс Медиа, 13. децембра. 2010
5. Динамика система: Моделирање, симулација и контрола мехатронских система. Деан Ц. Карнопп, Доналд Л. Марголис, Роналд Ц. Росенберг. Јохн Вилеи & Сонс, 7. марта 2012
6. Израчун: Математика и моделирање. Виллиам Баулдри, Јосепх Р. Фиедлер, Франк Р. Гиордано, Ед Лоди, Рицк Витраи. Аддисон Веслеи Лонгман, 1. јануара 1999