СУКЦЕСИВНИ ДЕРИВАТИ (СА ВЕЖБАМА РЕШЕНИМ) - МАТХС - 2025

У сукцесивна деривати су они изведени од једне функције након другог деривата. Процес израчунавања сукцесивних деривата је следећи: имамо функцију ф, коју можемо извести и на тај начин добити изведену функцију ф '. Ову деривацију ф можемо извести поново, добијајући (ф ')'.

Ова нова функција се зове други дериват; сви деривати израчунати од другог су сукцесивни; Они, такође названи вишим редом, имају сјајне примене, као што су давање информација о графикону графа функције, испитивање другог деривата за релативне крајности и одређивање бесконачног низа.

Дефиниција

Користећи Леибнизову нотацију, имамо да је дериват функције "и" у односу на "к" ди / дк. Да бисмо изразили другу изведеницу „и“ користећи Леибнизову нотацију, пишемо на следећи начин:

Опћенито, можемо изразити сукцесивне деривате на сљедећи начин с Леибнизовом нотацијом, гдје н представља редослијед деривата.

Остале употребљене ознаке су следеће:

Неки примери где можемо видети различите ознаке су:

Пример 1

Добијте све деривате функције ф дефинисане са:

Користећи уобичајене технике деривације, имамо да је изведеница ф:

Понављањем поступка можемо добити други дериват, трећи дериват и тако даље.

Имајте на уму да је четврти дериват нула, а дериват нула нула, тако да имамо:

Пример 2

Израчунајте четврти дериват следеће функције:

Извођење дате функције имамо као резултат:

Брзина и убрзање

Једна од мотива која је довела до открића деривата била је потрага за дефиницијом тренутне брзине. Формална дефиниција је следећа:

Нека је и = ф (т) функција чији граф описује путању честице у тренутку т, тада је њена брзина у тренутку т дана са:

Једном када се добије брзина честице, можемо израчунати тренутно убрзање, које је дефинисано на следећи начин:

Тренутно убрзање честице чији је пут дат и = ф (т) је:

Пример 1

Честица се креће дуж линије према функцији положаја:

Где се "и" мери у метрима, а "т" у секундама.

- У ком моменту је његова брзина 0?

- У ком моменту је његово убрзање 0?

Када се изводе позиционе функције «и», имамо да су њена брзина и убрзање дате:

Да бисте одговорили на прво питање, довољно је да одредите када функција в постаје нула; ово је:

Аналогно настављамо са следећим питањем:

Пример 2

Честица се креће дуж линије према следећој једначини кретања:

Одредите "т, и" и "в" када је а = 0.

Знајући да су брзина и убрзање дате од

Настављамо са добијањем и добијањем:

Ако направимо а = 0, имамо:

Одакле можемо закључити да је вредност т за а једнака нули т = 1.

Затим, вреднујући функцију положаја и функцију брзине на т = 1, имамо:

Апликације

Експлицитна изведеница

Сукцесивни деривати се такође могу добити имплицитном изведбом.

Пример

С обзиром на следећу елипсу, пронађите "и":

Имплицитно се односи на к, имамо:

Затим имплицитно поновно извођење у односу на к даје:

На крају, имамо:

Релативне крајности

Друга употреба коју можемо дати дериватима другог реда је у израчунавању релативних крајности функције.

Критеријум првог деривата за локалне крајности говори нам да ако имамо континуирану функцију ф на интервалу (а, б) и да ц наведеном интервалу припада ц, који ф нестаје у ц (то јест, ц је критична тачка), може се догодити један од три случаја:

- Ако је ф (к)> 0 за било који к који припада (а, ц) и ф (к) <0 за к који припада (ц, б), тада је ф (ц) локални максимум.

- Ако је ф (к) <0 за било који к који припада (а, ц) и ф (к)> 0 за к који припада (ц, б), тада је ф (ц) локални минимум.

- Ако ф´ (к) има исти знак (а, ц) и у (ц, б), то имплицира да ф (ц) није локални екстрем.

Помоћу критеријума другог деривата можемо знати да ли је критични број функције локални максимум или минимум, а да не морамо да видимо који је знак функције у горе поменутим интервалима.

Критеријум другог помицања говори нам да ако је ф´ (ц) = 0 и да је ф´´ (к) непрекидно у (а, б), дешава се да ако је ф´ (ц)> 0, онда ф (ц) је локални минимум и ако је ф´ (ц) <0 онда је ф (ц) локални максимум.

Ако је ф (ц) = 0, не можемо ништа закључити.

Пример

С обзиром на функцију ф (к) = к ⁴ + (4/3) к ³ - 4к ² , пронађите релативне максимуме и минимуме ф користећи критеријум друге деривације.

Прво израчунавамо ф´ (к) и ф´´ (к) и имамо:

ф´ (к) = 4к ³ + 4к ² - 8к

ф´´ (к) = 12к ² + 8к - 8

Сада, ф´ (к) = 0 ако, и само ако је 4к (к + 2) (к - 1) = 0, и то се дешава када је к = 0, к = 1 или к = - 2.

Да бисте утврдили да ли су добијени критични бројеви релативни крајности, довољно је проценити на ´´ и на тај начин посматрати њен знак.

ф´´ (0) = - 8, па је ф (0) локални максимум.

ф´´ (1) = 12, па је ф (1) локални минимум.

ф´´ (- 2) = 24, па је ф (- 2) локални минимум.

Таилор серија

Нека је ф функција дефинисана на следећи начин:

Ова функција има радијус конвергенције Р> 0 и има деривате свих реда у (-Р, Р). Сукцесивни деривати ф дају нам:

Узимајући к = 0, можемо добити вредности ц _н као функцију њихових деривата на следећи начин:

Ако узмемо ан = 0 као функцију ф (то јест, ф 0 = ф), онда можемо функцију преписати на следећи начин:

Сада размотримо функцију као низ моћи при к = а:

Ако извршимо анализу аналогну претходној, имали бисмо могућност да функцију ф можемо написати као:

Ове серије су познате као Таилор-ове серије од ф до а. Када је а = 0, имамо одређени случај који се зове Мацлаурин серија. Ова врста серија је од великог математичког значаја, посебно у нумеричкој анализи, јер захваљујући њима можемо да дефинишемо функције рачунара као што су е ^к , син (к) и цос (к).

Пример

Набавите Мацлауринову серију за е ^к .

Имајте на уму да ако је ф (к) = е ^к , онда је ф ^(н) (к) = е ^к и ф ^(н) (0) = 1, па је његов Мацлаурин низ:

Референце

1. Франк Аирес, Ј. и Менделсон, Е. (друго). Калкулација 5ед. Мц Грав Хилл.
2. Леитхолд, Л. (1992). Прорачун аналитичком геометријом. ХАРЛА, СА
3. Пурцелл, ЕЈ, Варберг, Д. и Ригдон, СЕ (2007). Прорачун. Мексико: Пеарсон Едуцатион.
4. Саенз, Ј. (2005). Диференцијално рачунање. Хипотенусе.
5. Саенз, Ј. (други). Интегрално рачунање. Хипотенусе.