НЕЈЕДНАКОСТ ТРОУГЛА: ДОКАЗ, ПРИМЕРИ, РЕШЕНЕ ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

Зове се неједнако својство троугла које задовољава два реална броја која се састоје од апсолутне вредности њихове суме, која је увек мања или једнака збиру њихових апсолутних вредности. Ово својство је такође познато као неједнакост Минковски или трокутаста неједнакост.

Ово својство бројева назива се трокутаста неједнакост, јер се у троугловима догађа да је дужина једне стране увек мања или једнака збиру остале две, иако се та неједнакост не примењује увек у подручју троуглова.

Слика 1. Апсолутна вредност зброја два броја је увек мања или једнака збиру њихових апсолутних вредности. (Приредио Р. Перез)

Постоји неколико доказа трокутасте неједнакости у реалним бројевима, али у овом случају изабрат ћемо један на основу својстава апсолутне вриједности и биномног квадрата.

Теорем: За сваки пар бројева а и б који припадају стварним бројевима имамо:

- а + б - ≤ - а - + - б -

Демонстрација

Започињемо разматрањем првог члана неједнакости који ће бити квадрат:

- а + б - ^ 2 = (а + б) ^ 2 = а ^ 2 + 2 аб + б ^ 2 (Ек. 1)

У претходном кораку користили смо својство за који је било који квадрат квадрат једнак апсолутној вредности наведеног квадратног броја, то је: -к- ^ 2 = к ^ 2. Такође је коришћена квадратна биномна експанзија.

Сваки број к је мањи или једнак својој апсолутној вредности. Ако је број позитиван, једнак је, али ако је број негативан, увек ће бити мањи од позитивног броја. У овом случају његова апсолутна вредност, односно, може се констатовати да је к ≤ - к -.

Производ (аб) је број, па се примењује да (аб) ≤ - аб -. Када се ово својство примењује на (Ек. 1), имамо:

- а + б - ^ 2 = а ^ 2 + 2 (аб) + б ^ 2 ≤ а ^ 2 + 2 - аб - + б ^ 2 (Ек. 2)

Узимајући у обзир да се аб - = - а - б - ла (Ек. 2) може написати на следећи начин:

- а + б - ^ 2 ≤ а ^ 2 + 2 - а - б - + б ^ 2 (Ек. 3)

Али пошто смо раније рекли да је квадрат броја једнак апсолутној вредности квадрата, тада се једначина 3 може преписати на следећи начин:

- а + б - ^ 2 ≤ -а- ^ 2 + 2 -а- -б- + -б- ^ 2 (екв. 4)

У другом члану неједнакости препознаје се изванредан производ који, када се примењује, доводи до:

- а + б - ^ 2 ≤ (-а- + -б -) ^ 2 (ув. 5)

У претходном изразу треба имати на уму да су вредности које се квадратурају у оба члана неједнакости позитивне, стога мора бити задовољено и да:

- а + б - ≤ (-а- + -б-) (екв. 6)

Претходни израз је управо оно што сте желели да покажете.

Примери

Даље ћемо проверити троугласту неједнакост са неколико примера.

Пример 1

Узимамо вредност а = 2 и вредност б = 5, односно оба позитивна броја и проверавамо да ли је неједнакост задовољена или не.

- 2 + 5 - ≤ -2- + -5-

- 7 - ≤ -2- + -5-

7 ≤ 2+ 5

Једнакост је верификована, стога је испуњена теорема о неједнакости троугла.

Пример 2

Следеће вредности а = 2 и б = -5 су изабране, то јест, позитиван број, а други негативни, проверавамо да ли је задовољена неједнакост или не.

- 2 - 5 - ≤ -2- + 5-

- -3 - ≤ -2- + -5-

3 ≤ 2 + 5

Неједнакост је задовољена, па је теорема о трокутној неједнакости верификована.

Пример 3

Узимамо вредност а = -2, а вредност б = 5, односно негативан број, а други позитиван, проверавамо да ли је задовољена неједнакост или не.

- -2 + 5 - ≤ - 2- + -5-

- 3 - ≤ --2- + -5-

3 ≤ 2 + 5

Неједнакост је верификована, па је теорема испуњена.

Пример 4

Следеће вредности а = -2 и б = -5 су одабране, то јест, оба негативна броја и проверавамо да ли је задовољена неједнакост или не.

- -2 - 5 - ≤ - 2 - + - -

- -7 - ≤ --2- + --5-

7 ≤ 2+ 5

Равноправност је верификована, па је извршена теорема о неједнакости Минковског.

Пример 5

Узимамо вредност а = 0 и вредност б = 5, односно број нулу и друго позитивно, затим проверимо да ли је неједнакост задовољена или не.

- 0 + 5 - ≤ -0- + -5-

- 5 - ≤ -0- + -5-

5 ≤ 0+ 5

Једнакост је испуњена, па је теорема о неједнакости троугла верификована.

Пример 6

Узмемо вредност а = 0, а вредност б = -7, односно број нула, а други позитивно, затим проверимо да ли је неједнакост задовољена или не.

- 0 - 7 - ≤ -0- + - 7-

- -7 - ≤ -0- + --7-

7 ≤ 0+ 7

Једнакост је верификована, стога је испуњена теорема о трокутастој неједнакости.

Решене вежбе

У наредним вежбама геометријски представите неједнакост троугла или Минковскијеву неједнакост за бројеве а и б.

Број а биће представљен као сегмент на Кс оси, његово порекло О подудара се са нулом оси Кс, а други крај сегмента (у тачки П) биће у позитивном смеру (десно) од осе Кс ако је а > 0, али ако је <0, то ће бити према негативном правцу оси Кс, онолико јединица колико даје његова апсолутна вредност.

Слично томе, број б биће представљен као сегмент чије је порекло на тачки П. Друга крајност, односно тачка К ће бити десно од П ако је б позитивно (б> 0), а тачка К ће бити -б - јединице лево од П ако је б <0.

Вежба 1

Графикујте неједнакост троугла за а = 5 и б = 3 - а + б - ≤ - а - + - б -, где је ц = а + б.

Вежба 2

Графикујте трокутасту неједнакост за а = 5 и б = -3.

- а + б - ≤ - а - + - б -, где је ц = а + б.

Вежба 3

Графички приказујте неједнакост троугла за а = -5 и б = 3.

- а + б - ≤ - а - + - б -, где је ц = а + б.

Вежба 4

Графички конструишите трокутасту неједнакост за а = -5 и б = -3.

- а + б - ≤ - а - + - б -, где је ц = а + б.

Референце

1. Е. Вхитеситт. (1980) Боолова алгебра и њене апликације. Редакција компаније Цонтинентал ЦА
2. Мицхеал О 'Сеарцоид. (2003) Елементи апстрактне анализе. . Одељење за математику. Универзитетски факултет Даблин, Белдфиелд, Дублинд.
3. Ј. Ван Вик. (2006) Математика и инжењерство у рачунарској науци. Институт за рачунарске науке и технологију. Национални биро за стандарде. Васхингтон, ДЦ 20234
4. Ериц Лехман. Математика за рачунарске науке. Гоогле Инц.
5. Ф Тхомсон Леигхтон (1980). Израчун. Одељење за математику и лабораторију рачунара и АИ лабораторија, Массацхуссеттс Институте оф Тецхнологи.
6. Академија Кан. Теорем неједнакости троугла. Опоравак од: кханацадеми.орг
7. Википедиа. Троугласта неједнакост. Опоравак од: ес. википедиа.цом