Синтетички подела је једноставан начин поделе полином П (к) било коју од облика д (к) = к - ц. На пример, полином П (к) = (к 5 + 3к 4 -7к 3 + 2к 2 -8к + 1) може се представити као множење два најједноставнија полинома (к + 1) и (к 4 + 2к 3 ).
Веома је користан алат јер, осим што нам омогућава дељење полинома, омогућава и процену полинома П (к) на било који број ц, што нам заузврат тачно каже да ли је наведени број нула или није полином.
Захваљујући алгоритму поделе знамо да ако имамо два нестална полинома П (к) и д (к), постоје јединствени полиноми к (к) и р (к) тако да је тачно да је П (к) = к (к) д (к) + р (к), где је р (к) нула или мањи од к (к). Ови полиноми познати су као количник, а остатак или остатак.
У случајевима када је полином д (к) облика к-ц, синтетичка подела даје нам кратак начин да утврдимо ко су к (к) и р (к).
Метода синтетичке поделе
Нека је П (к) = а н к н + а н-1 к н-1 +… + а 1 к + а 0 полином који желимо поделити и д (к) = кц дељив. Да бисмо поделили методом синтетске дељења поступимо на следећи начин:
1- У први ред пишемо коефицијенте П (к). Ако се не појави било која снага Кс, ставићемо нулу као њен коефицијент.
2- У другом реду, лево од н постављамо ц, и цртамо поделе као што је приказано на следећој слици:
3- Смањујемо водећи коефицијент у трећи ред.
У овом изразу б н-1 = а н
4- Помножимо ц са водећим коефицијентом б н-1 и резултат упишемо у други ред, али у један ступац десно.
5- Додајемо ступац у који пишемо претходни резултат и налазимо резултат испод те суме; то јест, у истој колони, трећи ред.
Када додајемо, као резултат имамо н-1 + ц * б н-1 , који ћемо за практичност назвати б н-2
6- Помножимо ц са претходним резултатом и записујемо резултат десно од њега у други ред.
7- Понављамо кораке 5 и 6 док не постигнемо коефицијент на 0 .
8- Пишемо одговор; то јест квоцијент и остатак. Пошто делимо полином степена н са полиномом степена 1, имамо да би квоцијент био степена н-1.
Коефицијенти полимијента квоцијента биће бројеви у трећем реду, осим последњег, који ће бити преостали полином или остатак дељења.
Решене вежбе
- Пример 1
Извршите следећу поделу методом синтетичке поделе:
(к 5 + 3к 4 -7к 3 + 2к 2 -8к + 1): (к + 1).
Решење
Најпре пишемо коефицијенте дивиденде на следећи начин:
Затим пишемо ц на левој страни, у другом реду, заједно са разделним линијама. У овом примеру ц = -1.
Смањимо водећи коефицијент (у овом случају б н-1 = 1) и множимо га са -1:
Резултат пишемо десно у други ред, као што је приказано у наставку:
У другу колону додајемо бројеве:
Помножимо 2 са -1 и упишемо резултат у трећу колону, други ред:
У трећу колону додајемо:
Настављамо на исти начин док не дођемо до последње колоне:
Дакле, имамо да је последњи добијени број остатак дељења, а преостали бројеви су коефицијенти полиниција квоцијента. Ово пише на следећи начин:
Ако желимо да потврдимо да је резултат тачан, довољно је да проверимо да ли је следећа једначина тачна:
П (к) = к (к) * д (к) + р (к)
Тако можемо да проверимо да ли је добијени резултат тачан.
- Пример 2
Извршите следећу поделу полинома методом синтетске дељења
(7к 3 -к + 2): (к + 2)
Решење
У овом случају имамо да се појам к 2 не појављује, па ћемо писати 0 као његов коефицијент. Према томе, полином би био 7к 3 + 0к 2 -к + 2.
Записујемо њихове коефицијенте редом, а то је:
На левој страни другог реда пишемо вредност Ц = -2 и цртамо подељене линије.
Смањимо водећи коефицијент б н-1 = 7 и множимо га са -2, пишући његов резултат у други ред десно.
Додајемо и настављамо као што је раније објашњено, све док не постигнемо последњи термин:
У овом случају, остатак је р (к) = - 52, а добијени квоцијент је к (к) = 7к 2 -14к + 27.
- Пример 3
Други начин употребе синтетичке поделе је следећи: претпоставимо да имамо полином П (к) степена н и желимо да знамо која је вредност тако што ћемо је проценити на к = ц.
Алгоритмом поделе можемо написати полином П (к) на следећи начин:
У овом изразу к (к) и р (к) су квоцијент и остатак, респективно. Сада, ако је д (к) = к- ц, када процењујемо ц у полиному, добијамо следеће:
Стога остаје само да пронађемо ар (к), а то можемо учинити захваљујући синтетичкој подјели.
На пример, имамо полином П (к) = к 7 -9к 6 + 19к 5 + 12к 4 -3к 3 + 19к 2 -37к-37 и желимо да знамо која је његова вредност процењујући је на к = 5. Да бисмо то урадили, извршимо подела између П (к) и д (к) = к -5 методом синтетичке поделе:
Једном када су операције завршене, знаћемо да П (к) можемо написати на следећи начин:
П (к) = (к 6 -4к 5 –к 4 + 7к 3 + 32к 2 + 179к + 858) * (к-5) + 4253
Стога, када је проценимо, морамо:
П (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253
П (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253
П (5) = 0 + 4253 = 4253
Као што видимо, могуће је користити синтетичку поделу да бисмо пронашли вредност полинома тако што ћемо је проценити на ц, уместо да једноставно заменимо ц за к.
Када бисмо покушали да проценимо П (5) на традиционалан начин, били бисмо приморани да извршимо неке прорачуне који често постају заморни.
- Пример 4
Алгоритам дијељења полинома је истинит и за полином са сложеним коефицијентима и, као посљедица тога, имамо да метода синтетичке подјеле функционише и за такве полином. Пример ћемо видети у наставку.
Користићемо метод синтетичке дељења да покажемо да је з = 1+ 2и нула полинома П (к) = к 3 + (1 + и) к 2 - (1 + 2и) к + (15 + 5и); то јест, остатак поделе П (к) на д (к) = к - з једнак је нули.
Настављамо као и раније: у први ред пишемо коефицијенте П (к), затим у други пишемо з и цртамо линије подела.
Поделу проводимо као и раније; ово је:
Можемо приметити да је остатак једнак нули; стога закључујемо да је з = 1+ 2и нула П (к).
Референце
- Балдор Аурелио. Алгебра Групо едитор Патриа.
- Демана, Ваитс, Фолеи и Кеннеди. Прекалкулус: Графичко, нумеричко, алгебрично образовање 7. изд. Пеарсона.
- Флемминг В & Варсерг Д. Алгебра и тригонометрија са аналитичком геометријом. Дворана Прентице
- Мицхаел Сулливан. Прекалкул 4. изд. Пеарсон Едуцатион.
- Црвено. Армандо О. Алгебра 1 6. изд. Тхе Атхенаеум.