ЕНЕАГОН: СВОЈСТВА, КАКО НАПРАВИТИ ЕНЕАГОН, ПРИМЕРИ - МАТХС

Енегон је полигон са девет страна и девет врхова, који могу или не могу бити редовни. Назив енеагоно долази од грчког и састоји се од грчких речи еннеа (девет) и гонон (угао).

Алтернативно име девестраног полигона је нонагон, који долази од латинског нонус (девет) и гонон (вертек). С друге стране, ако су стране или углови енеагона неједнаки један према другом, тада имате неправилни енеогон. Ако су, са друге стране, свих девет страна и девет углова енеагона једнаки, онда је то обичан енеагон.

Слика 1. Редовни енеагон и неправилни енеагон. (Властита обрада)

Својства енеагона

За полигон са н страна сума његових унутрашњих углова је:

(н - 2) * 180º

У енегону би било н = 9, па је збир његових унутрашњих углова:

Са = (9 - 2) * 180º = 7 * 180º = 1260º

У било којем полигону број дијагонала је:

Д = н (н - 3) / 2 иу случају енегона, будући да је н = 9, тада имамо Д = 27.

Редовни енегон

У правилном енеагону или нонагону постоји девет (9) унутрашњих углова једнаке мере, па сваки угао мери једну деветину од укупне суме унутрашњих углова.

Мера унутрашњих углова енегона је тада 1260º / 9 = 140º.

Слика 2. Апотема, радијус, странице, углови и врхови правилног енеагона. (Властита обрада)

Да би се добила формула за подручје регуларног енегона са страном д, прикладно је направити неке помоћне конструкције, попут оних приказаних на слици 2.

Средиште О налази се проналаском бисектора двеју суседних страна. Средина О је једнака од врхова.

Полумјер дужине р је сегмент од центра О до врха енегона. На слици 2 приказани су радијуси ОД и ОЕ дужине р.

Апотема је сегмент који иде од центра до средине тачке енегона. На пример, СЛ је апотема чија је дужина једнака.

Подручје енегона познато је са стране и апотема

Сматрамо троугао ОДЕ на слици 2. Подручје овог троугла је производ његове базе ДЕ и висине ОЈ подељено са 2:

ОДЕ површина = (ДЕ * ОЈ) / 2 = (д * а) / 2

Пошто у енегону постоји 9 троуглова једнаке површине, закључује се да је површина исте:

Енегонска површина = (9/2) (д * а)

Подручје познатог енегона са стране

Ако је позната само дужина д страница енегона, тада је неопходно пронаћи дужину апотеме да би се формула примијенила у претходном одељку.

Сматрамо прави троугао ОЈЕ у Ј (види слику 2). Ако се примени тангентни тригонометријски однос, добићемо:

тан (∡ ОЕЈ) = ОЈ / ЕЈ.

Угао ∡ОЕЈ = 140º / 2 = 70º, јер је ЕО бисектор унутрашњег угла енегона.

С друге стране, СЛ је апотема дужине а.

Затим, пошто је Ј средња тачка ЕД, следи да је ЕЈ = д / 2.

Замјеном претходних вриједности у односу тангента имамо:

тан (70º) = а / (д / 2).

Сада разјаснимо дужину апотеме:

а = (д / 2) тан (70 °).

Претходни резултат супституисан је у формули подручја да би се добио:

Површина енегона = (9/2) (д * а) = (9/2) (д * (д / 2) тан (70º))

На крају, проналазимо формулу која омогућава добијање подручја правилног енегона ако је позната само дужина д његових страна:

Површина енегона = (9/4) д ² тан (70º) = 6.1818 д ²

Периметар правилног енегона познат је са његове стране

Периметар полигона је збир његових страна. У случају енегона, како свака од страна мери дужину д, његов обод ће бити збир девет пута д, то јест:

Периметар = 9 д

Периметар енегона знао је свој радијус

С обзиром на прави троугао ОЈЕ у Ј (види слику 2), примењује се однос тригонометријског косинуса:

цос (∡ ОЕЈ) = ЕЈ / ОЕ = (д / 2) / р

Где се добија од:

д = 2р цос (70 °)

Замењујући овај резултат, добијамо формулу за обод као функцију полумјера енегона:

Периметар = 9 д = 18 р цос (70º) = 6,1564 р

Како направити обичан енегон

1- Да направимо редован енеагон, са равналом и компасом, полазимо од обима ц који окружује енеагон. (види слику 3)

2- Две окомите црте повучене су кроз средину О обода. Тада су пресеци А и Б једне од линија означени ободом.

3- Помоћу компаса, центрирања на пресретању Б и отвора једнаког радијусу БО, црта се лук који пресреће првобитни обим у тачки Ц.

Слика 3. Кораци за изградњу регуларног енегона. (Властита обрада)

4- Претходни корак се понавља, али чинећи средиште на А и полупречника АО, црта се лук који пресреће обод ц у тачки Е.

5- Отварањем АЦ и средишта у А црта се лук обима. Слично је са отварањем БЕ и центром Б нацртан још један лук. Пресјек ова два лука означен је тачком Г.

6- Центрирањем на Г и отварањем ГА црта се лук који пресијеца секундарну осовину (у овом случају хоризонталну) у тачки Х. Сјециште секундарне оси са првобитним ободом ц је означено као И.

7- Дужина сегмента ИХ једнака је дужини д стране енегона.

8- Са отвором компаса ИХ = д, лукови средишта А радијуса АЈ, средишта Ј радијуса АК, средишта К радијуса КЛ и средишта Л полупречника ЛП се цртају сукцесивно.

9- Слично томе, почевши од А и са десне стране, цртају се лукови полупречника ИХ = д који означавају тачке М, Н, Ц и К на првобитној ободу ц.

10- Коначно су извучени сегменти АЈ, ЈК, КЛ, ЛП, АМ, МН, НЦ, ЦК и на крају ПБ.

Треба напоменути да начин градње није сасвим тачан, јер се може потврдити да је задња страна ПБ-а дужа за 0,7% у односу на остале стране. До данас није познат начин конструкције помоћу равнала и компаса који је 100% тачан.

Примери

Ево неколико обрађених примера.

Пример 1

Желимо да направимо редован енегон чија бочне стране мере 2 цм. Који радијус мора имати опсег који га окружује, тако да се применом претходно описане конструкције добије жељени резултат?

У претходном одељку је изведена формула која повезује полупречник р описаног круга са страном д правилног енегона:

д = 2р цос (70 °)

Решавајући за р из претходног израза имамо:

р = д / (2 цос (70º)) = 1,44619 * д

Замјеном вриједности д = 2 цм у претходној формули даје се радијус р од 2,92 цм.

Пример 2

Која је површина правилног енегона са страном 2 цм?

Да бисмо одговорили на ово питање, морамо се позвати на претходно приказану формулу која нам омогућава да пронађемо подручје познатог енегона дужином д његове стране: