Логаритамска функција је математичка веза које повезују сваки позитиван реалан број к са својом логаритамској и на басе. Ова веза испуњава захтеве за функцијом: сваки елемент к који припада домени има јединствену слику.
Тако:
Пошто је логаритам заснован на броју к је број и на који се мора подићи база а да би се добила к.
- Логаритам базе је увек 1. Дакле, граф ф (к) = лог а к увек пресече оси к у тачки (1,0)
- Логаритамска функција је трансцендентна и не може се изразити као полином или као квоцијент ових. Поред логаритма, у ову групу се између осталих укључују тригонометријске функције и експоненција.
Примери
Логаритамска функција може се успоставити различитим базама, али најчешће се користе 10 и е, где је е Еулеров број једнак 2.71828….
Када се користи база 10, логаритам се назива децималним логаритамом, обичним логаритмом, Бригговим или обичним логаритамом.
А ако се користи број е, онда се назива природним логаритамом, по Јохну Напиеру, шкотском математичару који је открио логаритме.
Ознака која се користи за сваку од њих је следећа:
-Децимал Логаритам: Дневник 10 х = дневник х
-Неперијев логаритам: лн к
Када ћете користити другу базу, апсолутно је неопходно да је наведете као претпис, јер се логаритам сваког броја разликује у зависности од базе која се користи. На пример, ако су логаритми у бази 2, напишите:
и = лог 2 к
Погледајмо логаритам броја 10 у три различите базе, да илуструјемо ову тачку:
лог 10 = 1
лн 10 = 2,30259
лог 2 10 = 3.32193
Уобичајени калкулатори доносе само децималне логаритме (функција дневника) и природни логаритам (функција лн). На Интернету постоје калкулатори са другим базама. У сваком случају, читач може да потврди уз своју помоћ да ли су задовољене претходне вредности:
10 1 = 10
е 2.3026 = 10.0001
2 3.32193 = 10.0000
Мале децималне разлике настају због броја децималних места заузетих у рачунању логаритма.
Предности логаритми
Међу предностима употребе логаритама је и лакоћа коју омогућавају да раде са великим бројевима, користећи логаритам уместо броја директно.
То је могуће зато што функција логаритма расте спорије како бројеви постају већи, као што видимо на графу.
Па чак и код веома великог броја, њихови логаритми су много мањи, а руковање малим бројевима је увек лакше.
Поред тога, логаритми имају следећа својства:
- Производ : лог (аб) = лог а + лог б
- Квоцијент : лог (а / б) = лог а - дневник б
- Снага : лог а б = б.лог а
На овај начин производи и количници постају додаци и одузимања мањих бројева, а оснаживање постаје једноставан производ иако је снага велика.
Због тога нам логаритми омогућавају да изразимо бројеве који варирају у веома великим распонима вредности, као што су интензитет звука, пХ раствора, сјај звезда, електрични отпор и интензитет земљотреса по Рицхтеровој скали.
Слика 2. Логаритми се користе на Рицхтеровој скали за квантификацију магнитуде земљотреса. Слика приказује срушену зграду у граду Цонцепцион у Чилеу током земљотреса 2010. Извор: Викимедиа Цоммонс.
Погледајмо пример руковања својствима логаритма:
Пример
Пронађите вредност к у следећем изразу:
Одговорити
Овде имамо логаритамску једначину, јер је непознаница у аргументу логаритма. Решава се остављањем једног логаритма на свакој страни једнакости.
Започињемо постављањем свих израза који садрже „к“ лево од једнакости и оних који садрже само бројеве десно:
лог (5к + 1) - дневник (2к-1) = 1
Са леве стране имамо одузимање два логаритма, који се могу написати као логаритам квоцијента:
лог = 1
Међутим, с десне стране је број 1, који можемо изразити као записник 10, као што смо видјели раније. Тако:
лог = лог 10
Да би једнакост била истинита, аргументи логаритми морају бити једнаки:
(5к + 1) / (2к-1) = 10
5к + 1 = 10 (2к - 1)
5к + 1 = 20 к - 10
-15 к = -11
к = 11/15
Примена вежбе: Рихтерова скала
Године 1957. у Мексику се догодио земљотрес чија је јачина била 7,7 по Рицхтеровој скали. 1960. године у Чилеу се догодио још један земљотрес веће јачине, од 9,5.
Израчунајте колико је пута потрес у Чилеу био интензивнији од оног у Мексику, знајући да је магнитуда М Р по Рицхтеровој скали дата формулом:
М Р = лог (10 4 И)
Решење
Јачина земљотресне скале по Рицхтеровој скали је логаритамска функција. Израчунаћемо интензитет сваког земљотреса, јер имамо Рихтерове магнитуде. Урадимо то корак по корак:
- Мексико : 7.7 = дневник (10 4 И)
Пошто је инверзија функције логаритма експоненцијална, применимо то на обе стране једнакости са намером да се разрешимо за И, што се налази у аргументу логаритма.
Пошто су то децимални логаритми, основа је 10. Затим:
10 7.7 = 10 4 И
Интензитет земљотреса у Мексику био је:
И М = 10 7,7 / 10 4 = 10 3,7
- Чиле : 9,5 = дневник (10 4 И)
Исти поступак нас води до интензитета земљотреса у Чилеу И Цх :
И Цх = 10 9,5 / 10 4 = 10 5,5
Сада можемо да упоредимо оба интензитета:
И Цх / И М = 10 5,5 / 10 3,7 = 10 1,8 = 63,1
И Цх = 63,1. И М
Земљотрес у Чилеу био је око 63 пута интензивнији од оног у Мексику. Пошто је магнитуда логаритамска, она расте спорије од интензитета, тако да разлика у величини од 1 значи 10 пута већу амплитуду сеизмичког таласа.
Разлика између магнитуде оба земљотреса је 1,8, па се може очекивати и разлика у интензитету ближа 100 него 10, као што се заправо и догодило.
У ствари, да је разлика тачно 2, чилеански би земљотрес био сто пута интензивнији од мексичког.
Референце
- Царена, М. 2019. Приуниверзитетски приручник за математику. Национални универзитет Литорал.
- Фигуера, Ј. 2000. Математика 1. Диверзификована година. ЦО-БО издања.
- Јименез, Р. 2008. Алгебра. Прентице Халл.
- Ларсон, Р. 2010. Прорачун променљиве. 9тх. Едитион. МцГрав Хилл.
- Стеварт, Ј. 2006. Прекалцулус: Математика за рачун. 5. Едитион. Ценгаге Леарнинг.