ТРАНСЦЕНДЕНТНЕ ФУНКЦИЈЕ: ВРСТЕ, ДЕФИНИЦИЈА, СВОЈСТВА, ПРИМЕРИ - МАТХС - 2025

У елементарне трансценденталне Функције су експоненцијална, логаритамска, тригонометријске, инверзне тригонометријске функције, хиперболиц и инверзне хиперболичне функције. Односно, они су они који се не могу изразити полиномом, квоцијентом полинома или коренима полинома.

Немементарне трансцендентне функције су такође познате као посебне функције и међу њима се може именовати и функција грешке. Алгебарске функције (полиноми, квоцијенти полинома и коријени полинома) заједно са елементарним трансценденталним функцијама чине оно што је у математици познато као елементарне функције.

Трансцендентним функцијама такође се сматрају оне које су резултат операција између трансцендентних функција или између трансцендентних и алгебричних функција. Ове операције су: збир и разлика функција, производ и количник функција, као и састав две или више функција.

Дефиниција и својства

Експоненцијална функција

То је стварна функција стварне независне променљиве форме:

ф (к) = а ^ к = а ^к

где је а фиксни позитивни реални број (а> 0) који се назива базом. Циркуларни или суперскрипт користе се за означавање потенцирајуће операције.

Рецимо а = 2, онда функција изгледа овако:

ф (к) = 2 ^ к = 2 ^к

Која ће бити процењена за неколико вредности независне променљиве к:

Испод је графикон гдје је експоненцијална функција представљена за неколико вриједности базе, укључујући базу е (Непер број е е 2,72). База е је толико важна да генерално говорећи о експоненцијалној функцији мислимо на е ^ к, што се такође означава као екп (к).

Слика 1. Експоненцијална функција а ^ к, за различите вредности базе а. (Властита обрада)

Својства експоненцијалне функције

Из слике 1 види се да су домена експоненцијалних функција реални бројеви (Дом ф = Р ), а опсег или пут су позитивни реални подаци (Ран ф = Р ⁺ ).

С друге стране, без обзира на вредност базе а, све експоненцијалне функције пролазе кроз тачку (0, 1) и кроз тачку (1, а).

Када је база а> 1, функција се повећава и када је 0 <а <1 функција се смањује.

Криве и = а ^ к и и = (1 / а) ^ к су симетричне око оси И.

С изузетком случаја а = 1, експоненцијална функција је ињективна, односно свакој вредности слике одговара једна и само једна почетна вредност.

Логаритамска функција

То је стварна функција стварне независне променљиве засноване на дефиницији логаритма броја. Логаритам заснован на броју к је број и на који се база мора подићи да би се добио аргумент к:

забележите _а (к) = и ⇔ а ^ и = к

Односно, логаритамска функција заснована је на инверзној функцији експоненцијалне функције на којој се заснива.

На пример:

лог ₂ 1 = 0, јер је 2 ^ 0 = 1

Други случај, лог ₂ 4 = 2, јер је 2 ^ 2 = 4

Коренски логаритам 2 је лог ₂ √2 = ½, јер је 2 ^ ½ = √2

лог ₂ ¼ = -2, пошто је 2 ^ (- 2) = ¼

Испод је графикон функције логаритма у различитим базама.

Слика 2. Експоненцијална функција за различите вредности базе. (Властита обрада)

Својства функције логаритма

Домена функције логаритма и (к) = лог а (к) су позитивни реални бројеви Р + . Опсег путовања или реални бројеви : Р .

Без обзира на основу, логаритамска функција увек пролази кроз тачку (1,0), а тачка (а, 1) припада графу те функције.

У случају да је база а већа од јединства (а> 1), функција логаритма се повећава. Али ако је (0 <а <1) онда је то опадајућа функција.

Синусне, косинасте и тангенцијалне функције

Синусна функција додјељује реални број и свакој к вриједности, гдје к представља мјеру угла у радијанима. Да би се добила вредност Сен (к) угла, угао је представљен у јединичном кругу, а пројекција наведеног угла на вертикалну ос је синус који одговара том углу.

Тригонометријски круг и синус за различите вредности углова Кс1, Кс2, Кс3 и Кс4 приказани су испод (на слици 3).

Слика 3. Тригонометријски круг и синус различитих углова. (Властита обрада)

Дефинисана на овај начин, максимална вредност коју функција Сен (к) може имати је 1, која се јавља када је к = π / 2 + 2π н, где је н цели број (0, ± 1, ± 2,). Минимална вредност коју функција Сен (к) може да прими долази када је к = 3π / 2 + 2π н.

Функција косинуса и = Цос (к) је дефинисана на сличан начин, али пројекција угаоних положаја П1, П2 итд. Врши се на водоравној оси тригонометријског круга.

С друге стране, функција и = Тан (к) је квоцијент између синусне функције и косинусне функције.

Испод је графикон трансцендентних функција Сен (к), Цос (к) и Тан (к)

Слика 4. Графикон трансцендентних функција, синуса, косинуса и тангенте. (Властита обрада)

Деривати и интеграли

Дериват експоненцијалне функције

Дериват и 'експоненцијалне функције и = а ^ к је функција а ^ к помножена с природним логаритмом базе а:

и '= (а ^ к)' = а ^ к лн а

У посебном случају базе е, изведеница експоненцијалне функције је сама експоненцијална функција.

Интеграл експоненцијалне функције

Неодређени интеграл од ^ к је сама функција подељена природним логаритамом базе.

У посебном случају базе е, интеграл експоненцијалне функције је и сама експоненцијална функција.

Табела деривата и интеграла трансцендентних функција

Испод је резиме табеле главних трансцендентних функција, њихових деривата и неодређених интеграла (антидеривата):

Табела деривата и неодређених интеграла за неке трансцендентне функције. (Властита обрада)

Примери

Пример 1

Пронађите функцију која произилази из композиције функције ф (к) = к ^ 3 помоћу функције г (к) = цос (к):

(магла) (к) = ф (г (к)) = цос ³ (к)

Његова деривата и њен неодређени интеграл су:

Пример 2

Пронађите састав функције г помоћу функције ф, где су г и ф функције дефинисане у претходном примеру:

(гоф) (к) = г (ф (к)) = цос (к ³ )

Треба напоменути да састав функција није комутативна операција.

Дериват и неодређени интеграл за ову функцију су:

Интеграл је остављен означен, јер није могуће тачно написати резултат као комбинацију елементарних функција.

Референце

1. Израчун јединствене променљиве. Рон Ларсон, Бруце Х. Едвардс. Ценгаге Леарнинг, 10. новембра 2008
2. Теорем имплицитних функција: Историја, теорија и апликације. Стевен Г. Крантз, Харолд Р. Паркс. Спрингер Сциенце & Бусинесс Медиа, 9. новембра. 2012
3. Мултиваријабилна анализа. Сатисх Схирали, Харкрисхан Лал Васудева. Спрингер Сциенце & Бусинесс Медиа, 13. децембра. 2010
4. Динамика система: Моделирање, симулација и контрола мехатронских система. Деан Ц. Карнопп, Доналд Л. Марголис, Роналд Ц. Росенберг. Јохн Вилеи & Сонс, 7. марта 2012
5. Израчун: Математика и моделирање. Виллиам Баулдри, Јосепх Р. Фиедлер, Франк Р. Гиордано, Ед Лоди, Рицк Витраи. Аддисон Веслеи Лонгман, 1. јануара 1999
6. википедиа. Трансцендентна функција. Опоравак од: ес.википедиа.цом