ЕУКЛИДСКА ГЕОМЕТРИЈА: ИСТОРИЈА, ОСНОВНИ ПОЈМОВИ И ПРИМЕРИ - МАТХС - 2025

У Еуклидска геометрија одговара проучавање својстава геометријских простора у којима су задовољни еуклидов аксиоме. Иако се овај термин понекад користи да обухвати геометрије већих димензија са сличним својствима, он је генерално синоним за класичну геометрију или геометрију равнина.

У ИИИ веку а. Ц. Еуклид и његови ученици написали су Елементе, дело које је обухватало математичко знање времена обдарено логичко-дедуктивном структуром. Од тада је геометрија постала наука, у почетку за решавање класичних проблема и развила се као формативна наука која помаже разуму.

Историја

Да бисмо говорили о историји еуклидске геометрије, кључно је започети са Еуклидом из Александрије и Елементима.

Када је Египат остао у рукама Птоломеја И, након смрти Александра Великог, започео је свој пројекат у школи у Александрији.

Међу мудрацима који су предавали у школи био је и Еуклид. Нагађа се да његово рођење датира отприлике од 325. године пре нове ере. Ц. и његова смрт 265 а. Ц. Са сигурношћу можемо знати да је ишао у Платонову школу.

Више од тридесет година Еуклид је учио у Александрији, градећи своје познате елементе: почео је да пише исцрпан опис математике свог времена. Еуклидова учења произвела су одличне ученике, попут Архимеда и Аполонија из Перге.

Еуклид је био задужен за структурирање различитих открића старих Грка у Елементима, али за разлику од својих претходника он се не ограничава на потврђивање да је теорема тачна; Еуцлид нуди демонстрацију.

Елементи су збирка од тринаест књига. Након Библије, то је најзаступљенија књига, са више од хиљаду издања.

Еуклидови елементи

Елементи су Еуклидово ремек-дело у пољу геометрије и нуди дефинитиван третман геометрије две димензије (равнина) и три димензије (простора), која је извор онога што данас знамо као еуклидска геометрија .

Основни појмови

Елементе сачињавају дефиниције, уобичајени појмови и постулати (или аксиоми), а затим теореме, конструкције и докази.

- Поента је она која нема делова.

- Линија је дужина која нема ширину.

- Равна линија је она која се подједнако налази у односу на тачке које се налазе у њој.

- Ако су исечене две линије тако да су суседни углови једнаки, углови се зову равне, а линије се називају окомитим.

- Паралелне линије су оне које се, налазе се у истој равнини, никада не пресеку.

Након ових и других дефиниција, Еуклид нам представља списак од пет постулата и пет појмова.

Уобичајени појмови

- Две ствари које су једнаке трећини једнаке су једна другој.

- Ако се истим стварима додају исте, резултати су исти.

- Ако се одузму једнаке ствари једнаке ствари, резултати су једнаки.

- Ствари које се међусобно подударају једнаке су једна другој.

- Укупан је већи од дела.

Постулати или аксиоми

- Једна и само једна линија пролазе кроз две различите тачке.

- Равне линије се могу продужавати у недоглед.

- Можете нацртати круг било којим центром и било којим полумјером.

- Сви прави углови су једнаки.

- Ако равна линија пређе две равне линије тако да се унутрашњи углови исте стране додају на мање од два десна угла, тада ће се две линије прећи на тој страни.

Овај последњи постулат познат је као паралелни постулат и формулисан је на следећи начин: "За тачку изван линије може се повући једна паралела са датом линијом."

Примери

Затим ће неке теореме Елемената послужити за приказ својстава геометријских простора у којима је испуњено пет постулата Еуклида; Поред тога, они ће илустровати логичко-дедуктивно образложење које користи овај математичар.

Први пример

Предлог 1.4. (ЛАЛ)

Ако два троугла имају две стране и угао између њих је једнак, онда су друге стране и остали углови једнаки.

Демонстрација

Нека су АБЦ и А'Б'Ц два троугла са АБ = А'Б ', АЦ = А'Ц' и углови БАЦ и Б'А'Ц 'једнаки. Померимо троугао А'Б'Ц 'тако да се А'Б "поклапа са АБ, а тај угао Б'А'Ц" коинцидира са углом БАЦ.

Дакле, линија А'Ц 'коинцидира с линијом АЦ, тако да се Ц' подудара са Ц. Тада, по постулату 1, линија БЦ мора коинцидати са линијом Б'Ц '. Због тога се два троугла подударају, а самим тим и њихови углови и њихове странице су једнаки.

Други пример

Предлог 1.5. (

Претпоставимо да троугао АБЦ има једнаке стране АБ и АЦ.

Дакле, троуглови АБД и АЦД имају две једнаке стране, а углови између њих су једнаки. Према томе, према Пропозицији 1.4, углови АБД и АЦД су једнаки.

Трећи пример

Предлог 1.31

Можете изградити линију паралелну са линијом датој тачки.

Зграда

Дајући линију Л и тачку П, линија М се провлачи кроз П и пресијеца Л. Затим се линија Н повуче кроз П која пресијеца Л. Сада је линија Н повучена кроз П која пресијеца М, формирајући угао једнак оном који Л формира са М.

Афирмација

Н је паралелна са Л.

Демонстрација

Претпоставимо да Л и Н нису паралелни и пресецају се у тачки А. Нека је Б тачка у Л изван А. Размотримо линију О која пролази кроз Б и П. Затим, О пресијеца М под угловима који су мањи од мањег од А. две равно.

Затим са 1,5 линије О морају се пресецати линију Л с друге стране М, па се Л и О пресијецају у двије тачке, што је у супротности с постулатом 1. Стога Л и Н морају бити паралелни.

Референце

1. Елементи геометрије. Национални аутономни универзитет у Мексику
2. Еуклид. Првих шест књига и једанаести и дванаести Еуклидов елемент
3. Еугенио Филлои Иагуе. Дидактика и историја еуклидске геометрије, Групо Уводник Ибероамерицано
4. К. Рибников. Историја математике. Мир Едит
5. Вилориа, Н., & Леал, Ј. (2005) Плане Аналитицал Геометри. Редакција Венезолана ЦА