Линеарна интерполација је метод који потиче Генерал Невтон интерполацију и приближавање за одређивање непознатом вредност која је између два унета броја; то јест, пронађена је средња вредност. Такође се примењује за приближне функције, где су вредности ф (а) и ф (б) познате и желимо да знамо интермедијер ф (к) .
Постоје различите врсте интерполације, као што су линеарна, квадратна, кубична и виших степена, а најједноставнија је линеарна апроксимација. Цена која се мора платити линеарном интерполацијом је да резултат неће бити тако тачан као са апроксимацијама користећи функције виших степена.
Дефиниција
Линеарна интерполација је процес који вам омогућава да извучете вредност између две добро дефинисане вредности, које могу бити у табели или у линијском графикону.
На пример, ако знате да три литра млека вреде 4 долара, а 5 литара 7, али желите да знате која је вредност 4 литре млека, интерполирајте да бисте одредили ту средњу вредност.
Метод
Да би се процијенила средња вриједност функције, функција ф (к) се апроксимира помоћу линије р (к) , што значи да функција линеарно варира са «к» за одјељке «к = а» и «к = б "; то јест, за вредност "к" у интервалу (к 0 , к 1 ) и (и 0 , и 1 ), вредност "и" је дата линијом између тачака и изражена је следећим односом:
(и - и 0 ) ÷ (к - к 0 ) = (и 1 - и 0 ) ÷ (к 1 - к 0 )
Да би интерполација била линеарна, полином интерполације мора бити степена један (н = 1), тако да одговара вредностима к 0 и к 1.
Линеарна интерполација заснива се на сличности троуглова, на начин да се, геометријски произлазећи из претходног израза, може добити вредност „и“, што представља непознату вредност за „к“.
На тај начин морате:
а = тан Ɵ = (супротна нога 1 ÷ суседна нога 1 ) = (супротна нога 2 ÷ суседна нога 2 )
Изражено на други начин, то је:
(и - и 0 ) ÷ (к - к 0 ) = (и 1 - и 0 ) ÷ (к 1 - к 0 )
Решавајући изразе за «и», имамо:
(и - и 0 ) * (к 1 - к 0 ) = (к - к 0 ) * (и 1 - и 0 )
(и - и 0 ) = (и 1 - и 0 ) *
Тако се добија општа једначина за линеарну интерполацију:
и = и 0 + (и 1 - и 0 ) *
Генерално, линеарна интерполација даје малу грешку у стварној вредности праве функције, мада је грешка минимална у односу на то ако интуитивно изаберете број који је близак ономе који желите да пронађете.
До ове грешке долази када се покушава приближити вредност кривуље правом линијом; У тим случајевима, величина интервала мора се смањити да би се приближавање прецизније прецизирало.
За боље резултате у вези са апроксимацијом, препоручљиво је користити функције степена 2, 3 или чак више степена за обављање интерполације. У овим случајевима теорема Тејлора је веома корисно средство.
Решене вежбе
Вежба 1
Број следећих бактерија по јединици запремине у инкубацији је представљен у следећој табели. Желите знати колика је запремина бактерија у времену од 3,5 сата.
Решење
Референтна табела не утврђује вредност која указује на количину бактерија у времену од 3,5 сата, али има горње и доње вредности које одговарају времену од 3 и 4 сата. Онуда:
к 0 = 3 и 0 = 91
к = 3,5 и =?
к 1 = 4 и 1 = 135
Сада се примењује математичка једнаџба ради проналажења интерполиране вредности, која је следећа:
и = и 0 + (и 1 - и 0 ) * .
Тада се одговарајуће вредности супституишу:
и = 91 + (135 - 91) *
и = 91 + (44) *
и = 91 + 44 * 0.5
и = 113.
Тако се добија да је за 3,5 сата број бактерија 113, што представља средњи ниво између запремине бактерија које су постојале у времену од 3 до 4 сата.
Вежба 2
Луис има фабрику сладоледа и жели да уради студију како би утврдио приход који је имао у августу на основу направљених трошкова. Администратор компаније прави графикон који изражава ову везу, али Луис жели да зна:
Колики је приход за август ако је настао трошак у износу од 55 000 долара?
Решење
Даје се графикон са вриједностима прихода и расхода. Луис жели да зна колика је зарада за август ако би фабрика имала трошак од 55.000 долара. Ова вредност није директно приказана на графикону, али су вредности веће и ниже од ове.
Прво се прави табела где се лако могу повезати вредности:
Сада се интерполациона формула користи да би се одредила вредност и
и = и 0 + (и 1 - и 0 ) *
Тада се одговарајуће вредности супституишу:
и = 56.000 + (78.000 - 56.000) *
и = 56.000 + (22.000) *
и = 56.000 + (22.000) * (0.588)
и = 56.000 + 12.936
и = 68,936 $.
Ако је у августу направљен трошак од 55.000 долара, приход је износио 68.936 долара.
Референце
- Артхур Гоодман, ЛХ (1996). Алгебра и тригонометрија са аналитичком геометријом. Пеарсон Едуцатион.
- Харпе, П. д. (2000). Теме из теорије геометријских група. Университи оф Цхицаго Пресс.
- Хазевинкел, М. (2001). Линеарна интерполација ", Енциклопедија математике.
- , ЈМ (1998). Елементи нумеричких метода за инжењеринг. УАСЛП.
- , Е. (2002). Хронологија интерполације: од древне астрономије до модерне обраде сигнала и слике. Зборник радова ИЕЕЕ.
- нумерички, И. а. (2006). Ксавиер Томас, Јорди Цуадрос, Луцинио Гонзалез.