ГАУСС-СЕИДЕЛ МЕТОДА: ОБЈАШЊЕЊЕ, АПЛИКАЦИЈЕ, ПРИМЕРИ - МАТХС - 2025

Гаусс-Сеидел метода је итеративни поступак за проналажење приближне решења система линеарних алгебарских једначина са арбитрарно изабраном прецизношћу. Метода се примењује на квадратне матрице са не-нула елементима у њиховим дијагоналама, а конвергенција је загарантована ако је матрица дијагонално доминантна.

Направио га је Царл Фриедрицх Гаусс (1777-1855), који је приватну демонстрацију пружио једном од својих ученика 1823. Касније га је формално објавио Филип Лудвиг вон Сеидел (1821-1896) 1874, отуда и назив оба математичара.

Слика 1. Гаусс-Сеиделова метода се брзо конвергира како би се добило решење система једначина. Извор: Ф. Запата.

За потпуно разумевање методе, потребно је знати да је матрица дијагонално доминантна када је апсолутна вредност дијагоналног елемента сваког реда већа или једнака збиру апсолутних вредности осталих елемената тог истог реда.

Математички се изражава овако:

Објашњење помоћу једноставног случаја

Да бисмо илустровали од чега се састоји Гаусс-Сеиделова метода, узет ћемо једноставан случај, у којем се вредности Кс и И могу наћи у 2 × 2 систему линеарних једначина приказаном у наставку:

5Кс + 2И = 1

Кс - 4И = 0

Кораци за следење

1- Прво, потребно је утврдити да ли је конвергенција сигурна. Одмах се примећује да је, у ствари, дијагонално доминантан систем, јер у првом реду први коефицијент има већу апсолутну вредност од осталих у првом реду:

-5 -> - 2-

Слично томе, други коефицијент у другом реду је такође дијагонално доминантан:

--4 -> - 1-

2- Промењене су променљиве Кс и И:

Кс = (1 - 2И) / 5

И = Кс / 4

3- Ставља се произвољна почетна вредност, која се назива „семе": Ксо = 1, И = 2.

4 - Почиње итерација: да би се добила прва апроксимација Кс1, И1, семе је супституисано у првој једначини корака 2, а резултат у другој једначини корака 2:

Кс1 = (1 - 2 И) / 5 = (1 - 2 × 2) / 5 = -3/5

И1 = Кс1 / 4 = (-3/5) / 4 = -3/20

5- Настављамо на сличан начин да добијемо другу апроксимацију решења система једначина:

Кс2 = (1 - 2 И1) / 5 = (1 - 2к (-3/20)) / 5 = 13/50

И2 = Кс2 / 4 = (13/50) / 4 = 13/200

6- Трећа итерација:

Кс3 = (1 - 2 И2) / 5 = (1 - 2 (13/200)) / 5 = 87/500

И3 = Кс3 / 4 = (87/500) / 4 = 87/2000

7- Четврта итерација, као последња итерација овог илустративног случаја:

Кс4 = (1 - 2 И3) / 5 = (1 - 2 (87/2000)) / 5 = 913/5000

И4 = Кс4 / 4 = (913/5000) / 4 = 913/20000

Ове вредности се прилично слажу са решењем које проналазе друге методе решавања. Читалац то брзо може да провери уз помоћ мрежног математичког програма.

Анализа методе

Као што се може видети, у Гаусс-Сеиделовој методи, приближне вредности добијене за претходну променљиву у том истом кораку морају бити замењене следећом променљивом. То га разликује од других итеративних метода попут Јацобијеве, у којима сваки корак захтева приближавање претходне фазе.

Метода Гаусс-Сеидел није паралелна процедура, док је Гаусс-Јордан метода. То је такође разлог да се метода Гаусс-Сеидела брже конвергира - у мање корака - од Јорданове методе.

Што се тиче дијагонално доминантног стања матрице, то није увек задовољено. Међутим, у већини случајева довољно је да се замените редови са оригиналног система за испуњење услова. Надаље, метода се готово увијек конвергира, чак и када дијагонални услов доминације није испуњен.

Претходни резултат, добијен помоћу четири итерације Гаусс-Сеиделове методе, може се записати у децималном облику:

Кс4 = 0,1826

И4 = 0.04565

Тачно решење предложеног система једначина је:

Кс = 2/11 = 0,1818

И = 1/22 = 0,04545.

Тако са само 4 итерације добијате резултат са хиљадом прецизношћу (0,001).

Слика 1 приказује како се узастопне итерације брзо приближавају тачном рјешењу.

Апликације

Метода Гаусс-Сеидела није ограничена само на систем 2 линеарних једначина 2 × 2. Претходни поступак се може генерализовати за решавање линеарног система н једначина са н непознаница, који је представљен у оваквој матрици:

А Кс = б

Где је А нкн матрица, док је Кс вектор н компоненти н променљивих које се израчунавају; и б је вектор који садржи вредности независних појмова.

Да би се генерализовао редослед понављања примењених у илустративном случају на нкн систему, одакле се жели израчунати променљива Кси, примењиваће се следећа формула:

У овој једначини:

- к је индекс вредности добијене у итерацији к.

-к + 1 означава нову вредност у следећем.

Коначни број итерација се одређује када се вредност добијена у итерацији к + 1 разликује од вредности добијене непосредно пре, за количину ε која је управо жељена прецизност.

Примери Гаусс-Сеиделове методе

- Пример 1

Написати општи алгоритам који омогућава израчунавање вектора приближних решења Кс линеарног система једнаџби нкн, с обзиром на матрицу коефицијената А, вектор независних израза б , број итерација (и тер) и почетну вредност или "сет" "вектора Кс .

Решење

Алгоритам се састоји од два „То“ циклуса, једног за број понављања и другог за број променљивих. Било би следеће:

За к ∊

За и ∊

Кс: = (1 / А) * (б - ∑ _{ј = 1} ^н (А * Кс) + А * Кс)

- Пример 2

Проверите рад претходног алгоритма путем његове примене у бесплатном и бесплатном математичком софтверу СМатх Студио, доступном за Виндовс и Андроид. Узмимо за пример случај матрице 2 × 2 која нам је помогла да илуструјемо Гаусс-Сеиделову методу.

Решење

Слика 2. Решење система једначина из примера 2 к 2, коришћењем софтвера СМатх Студио. Извор: Ф. Запата.

- Пример 3

Примените Гаусс-Сеиделов алгоритам за следећи систем једначина 3 × 3, који је претходно наређен на такав начин да су коефицијенти дијагонале доминантни (то јест, већа апсолутна вредност од апсолутних вредности коефицијената од исти ред):

9 Кс1 + 2 Кс2 - Кс3 = -2

7 Кс1 + 8 Кс2 + 5 Кс3 = 3

3 Кс1 + 4 Кс2 - 10 Кс3 = 6

Користите нулти вектор као семе и размотрите пет итерација. Коментирајте резултат.

Решење

Слика 3. Решење система једначина решеног примера 3, коришћењем СМатх Студио. Извор: Ф. Запата.

За исти систем са 10 итерација уместо 5 добијају се следећи резултати: Кс1 = -0.485; Кс2 = 1.0123; Кс3 = -0,3406

Ово нам говори да је пет итерација довољно да се добије прецизна три децимална места и да се метода брзо конвертује у решење.

- Пример 4

Користећи горе наведени алгоритам Гаусс-Сеидела, пронађите решење 4 × 4 система једначина који је дат ниже:

10 к1 - к2 + 2 к3 + 0 к4 = 6

-1 к1 + 11 к2 - 1 к3 + 3 к4 = 25

2 к1 - 1 к2 + 10 к3 - 1 к4 = -11

0 к1 + 3 к2 - 1 к3 + 8 к4 = 15

Да бисте покренули метод, користите ово семе:

к1 = 0, к2 = 0, к3 = 0 и к4 = 0

Размотрите 10 итерација и процените грешку резултата, упоређујући са итерацијом број 11.

Решење

Слика 4. Решење система једначина решеног примера 4, коришћењем СМатх Студио. Извор: Ф. Запата.

Ако упоредимо са наредном итерацијом (број 11), резултат је идентичан. Највеће разлике између две итерације су реда 2 × 10 ^-8 , што значи да приказано решење има прецизност од најмање седам децималних места.

Референце

1. Итеративне методе решења. Гаусс-Сеидел Опоравак од: цимат.мк
2. Нумеричке методе. Гаусс-Сеидел Опоравак од: тест.цуа.уам.мк
3. Нумеричка: Гаусс-Сеиделова метода. Опоравак од: апрендеенлинеа.удеа.еду.цо
4. Википедиа. Гаусс-Сеидел метода. Опоравак од: ен. википедиа.цом
5. Википедиа. Гаусс-Сеидел метода. Опоравак од: ес.википедиа.цом