ЕУЛЕРОВ БРОЈ ИЛИ Е БРОЈ: КОЛИКО ВРЕДИ, СВОЈСТВА, АПЛИКАЦИЈЕ - МАТХС - 2025

Еулер-број или број е је позната математичка константа која се појављује често у бројним научним и економским апликација, заједно са бројем Ш и других важних бројева у математици.

Научни калкулатор враћа следећу вредност за број е:

Слика 1. Еулеров број често се појављује у науци. Извор: Ф. Запата.

е = 2.718281828 …

Али познато је много више децимала, на пример:

е = 2.71828182845904523536…

И савремени рачунари су пронашли трилију децималних места за број е.

То је ирационалан број, што значи да има бесконачан број децималних места без икаквог понављајућег узорка (низ 1828 се појављује два пута на почетку и више се не понавља).

А такође значи да се број е не може добити као квоцијент два цела броја.

Историја

Број е идентификовао је научник Јацкуес Берноулли 1683. године, када је проучавао проблем сложених интереса, али пре тога се индиректно појављивао у радовима шкотског математичара Јохна Напиера, који је изумио логаритме око 1618. године.

Ипак, Леонхард Еулер је 1727. године дао име број е и интензивно проучавао његова својства. Због тога је познат и као Еулеров број и као природна база за природне логаритме (експонент) који се тренутно користе.

Колико вриједи број е?

Вредан је број е:

е = 2.71828182845904523536…

Елипса значи да постоји бесконачан број децималних места и заправо је са данашњим рачунаром познато милионима њих.

Прикази броја е

Постоји неколико начина за дефинисање е који описујемо у наставку:

Број е као граница

Један од различитих начина на који се изражава број е онај је који је научник Берноули пронашао у својим радовима о сложеном интересу:

У којем морате унети вредност н веома великом броју.

Лако је проверити, уз помоћ калкулатора, да када је н веома велик, претходни израз тежи вредности е датој горе.

Наравно да се можемо запитати колико велика н може да се направи, па да испробамо округле бројеве, попут ових на пример:

н = 1000; 10.000 или 100.000

У првом случају добијамо е = 2.7169239…. У другом е = 2.7181459…, а у трећем је много ближа вриједности е: 2.7182682. Већ можемо да замислимо да ће са н = 1.000.000 или већим износом апроксимација бити још боља.

Математичким језиком поступак приближавања и приближавања веома великој вредности назива се граница до бесконачности и означава се овако:

За означавање бесконачности користи се симбол "∞".

Број е као збир

Такође је могуће дефинисати број е кроз ову операцију:

Бројке које се појављују у називнику: 1, 2, 6, 24, 120 … одговарају операцији н !, где:

И по дефиницији 0! = 1.

Лако је проверити да што је додатих додатака, тачније долази се до броја е.

Урадимо неке тестове помоћу калкулатора, додајући све више и више додатака:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2.71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2.75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2.76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2.71806

Што се више дода зброју, резултат више подсећа на е.

Математичари су осмислили компактну ознаку за ове суме која укључује многе изразе, користећи симбол сумирања Σ:

Овај израз се чита овако "збир од н = 0 до бесконачности 1 између н фактора".

Број е са геометријског становишта

Број е има графички приказ везан за подручје испод графа кривуље:

и = 1 / к

Када су вредности к између 1 и е, ово подручје је једнако 1, као што је приказано на следећој слици:

Слика 2. Графички приказ броја е: површина испод кривуље 1 / к, између к = 1 и к = е вриједи 1. Извор: Ф. Запата.

Својства броја е

Неке од својстава броја е су:

-То је ирационално, другим речима, то се не може добити једноставним дељењем два цела броја.

- Број е је такође трансцендентни број, што значи да е није решење за неку полиномну једначину.

- Повезана је са четири друга позната броја из области математике, и то: π, и, 1 и 0, путем Еулеровог идентитета:

- Такозвани сложени бројеви могу се изразити путем е.

-То је основа природних или природних логаритама данашњег времена (оригинална дефиниција Јохна Напиер-а мало се разликује).

-То је једини број такав да је његов природни логаритам једнак 1, то је:

Апликације

Статистика

Број е се врло често појављује у пољу вероватноће и статистике, појављује се у различитим дистрибуцијама, као што су нормална или Гауссова, Поиссонова и друге.

Инжењеринг

У инжињерингу је често, будући да је експоненцијална функција и = е ^к присутна, на пример, у механици и електромагнетизму. Међу многим апликацијама можемо поменути:

-Кабл или ланац који виси за крајеве, прихвата облик криве коју даје:

и = (е ^к + е ^-к ) / 2

-Податно испражњени кондензатор Ц, који је серијски повезан са отпорником Р и извором напона В за пуњење, добија одређено наелектрисање К као функцију времена т дато од:

К (т) = ЦВ (1-е ^{-т / РЦ} )

биологија

Експоненцијална функција и = Ае ^Бк , са А и Б константом, користи се за моделирање ћелијског раста и раст бактерија.

Физички

У нуклеарној физици радиоактивно пропадање и одређивање старости моделирају се радиокарбонским датирањем.

Економија

Код израчуна сложених камата број е настаје природно.

Претпоставимо да имате одређену количину новца П _о да инвестирају по каматној стопи од И% годишње.

Ако оставите новац 1 годину, после тог времена имат ћете:

После још једне године, без да је додирнете, имаћете:

И настављајући на овај начин н година:

Сада се сетимо једне од дефиниција е:

Изгледа помало као израз за П, тако да мора постојати веза.

Дистрибуираћемо номиналну каматну стопу и у н периода, на тај начин ће сложена каматна стопа бити и / н:

Овај израз мало више личи на нашу границу, али још увек није потпуно исти.

Међутим, након неких алгебричних манипулација може се показати да увођењем ове промене променљиве:

Наш новац П постаје:

А оно што је између заграде, чак и ако је написано словом х, једнако је аргументу границе која дефинише број е, а недостаје само граница.

Направимо х → ∞, а оно што је између заграда постаје број е. То не значи да морамо да чекамо бесконачно дуго да бисмо повукли свој новац.

Ако погледамо изблиза, правећи х = н / и и склон ∞, оно што смо уствари учинили је да каматну стопу ширимо на веома, веома мале периоде:

и = н / х

То се назива непрекидним мешањем. У таквом случају износ новца се лако израчуна овако:

Где сам годишња каматна стопа. На пример, када депонујете 12 евра у 9% годишње, континуираном капитализацијом, након једне године имате:

Са профитом од 1,13 евра.

Референце

1. Уживајте у математици. Збирни интерес: Периодни састав. Опоравак од: ењоласматематицас.цом.
2. Фигуера, Ј. 2000. Математика 1. Разнолико. ЦО-БО издања.
3. Гарциа, М. Број е у елементарном рачуну. Опоравак од: математица.циенс.уцв.ве.
4. Јименез, Р. 2008. Алгебра. Прентице Халл.
5. Ларсон, Р. 2010. Прорачун променљиве. 9тх. Едитион. МцГрав Хилл.