ЗАМИШЉЕНИ БРОЈЕВИ: СВОЈСТВА, АПЛИКАЦИЈЕ, ПРИМЕРИ - МАТХС - 2025

У имагинарни бројеви су они који решава једначину у којој је непознато, подигнут на тргу је једнак негативном стварном броју. Замишљена јединица је и = √ (-1).

У једначини: з ² = - а, з је имагинарни број који се изражава на следећи начин:

з = √ (-а) = и√ (а)

Бити позитиван реални број. Ако је а = 1, онда је з = и, где је и имагинарна јединица.

Слика 1. Сложена равнина која приказује неке стварне бројеве, неке имагинарне бројеве и неке сложене бројеве. Извор: Ф. Запата.

Уопштено, чисти имагинарни број з увек се изражава у облику:

з = и⋅и

Где је и стварни број и ја је имагинарна јединица.

Баш као што су стварни бројеви представљени на линији, која се назива стварном линијом, на сличан начин су замишљени бројеви представљени на имагинарној линији.

Замишљена линија је увек правокутна (облик 90 °) на реалној линији, а две линије дефинишу картезијанску раван која се зове сложена равнина.

На слици 1 су приказане сложене равни и на њој су приказани неки стварни бројеви, неки имагинарни бројеви и такође неки сложени бројеви:

Кс ₁ , Кс ₂ , Кс ₃ су стварни бројеви

И ₁ , И ₂ , И ₃ су имагинарни бројеви

З ₂ и З ₃ су комплексни бројеви

Број О је стварна нула и такође је замишљена нула, па је извор О комплексна нула изражена са:

0 + 0и

Својства

Скуп имагинарних бројева означен је са:

И = {……, -3и,…, -2и,…., - и,…., 0и,…., И,…., 2и,…., 3и, ……}

И на овом нумеричком скупу можете дефинисати неке операције. Замишљени број се не добија увек из ових операција, па ћемо их погледати мало детаљније:

Додајте и одузмите имагинарно

Замишљени бројеви се могу сабирати и одузимати један од другог, што резултира новим имагинарним бројем. На пример:

3и + 2и = 5и

4и - 7и = -3и

Производ имагинарног

Када се направи производ једног имагинарног броја са другим, резултат је стваран број. Урадимо следећу операцију да га проверимо:

2и к 3и = 6 ки ² = 6 к (√ (-1)) ² = 6 к (-1) = -6.

И као што видимо, -6 је прави број, иако је добијен множењем два чиста имагинарна броја.

Производ стварног броја од стране другог имагинарног

Ако се реални број помножи са и, резултат ће бити имагинарни број који одговара ротацији у смеру од казаљке на сату за 90 степени.

А то је да и ² одговара две узастопне ротације од 90 степени, што је еквивалентно множењу са -1, то јест, и ² = -1. Може се видети на следећем дијаграму:

Слика 2. Умножавање замишљене јединице и одговара ротацијама у смјеру супротном од казаљке на сату за 90 °. Извор: викимедиа цоммонс.

На пример:

-3 к 5и = -15и

-3 ки = -3и.

Оснаживање имагинарног

Можете дефинисати потенцијацију имагинарног броја на цели експонент:

и ¹ = и

и ² = ики = √ (-1) к √ (-1) = -1

и ³ = ики ² = -и

и ⁴ = и ² ки ² = -1 к -1 = 1

и ⁵ = ики ⁴ = и

Генерално имамо да је ^н = и ^ (н мод 4), где је мод остатак поделе између н и 4.

Негативно целобројно потенцирање се такође може обавити:

и ^-1 = 1 / и ¹ = и / (ики ¹ ) = и / (и ² ) = и / (-1) = -и

и- ² = 1 / и ² = 1 / (-1) = -1

и- ³ = 1 / и ³ = 1 / (- и) = (-1) / и = -1 ки ^-1 = (-1) к (-и) = и

Уопштено, имагинарни број б⋅и подигнут на снагу н је:

(б⋅и) и ^н = б ^н и ^н = б ^н и ^ (н мод 4)

Неки примери су следећи:

(5 и) ¹² = 5 ¹² и ¹² = 5 ¹² и ⁰ = 5 ¹² к 1 = 244140625

(5 и) ¹¹ = 5 ¹¹ и ¹¹ = 5 ¹¹ и ³ = 5 ¹¹ к (-и) = -48828125 и

(-2 и) ¹⁰ = -2 ¹⁰ и ¹⁰ = 2 ¹⁰ и ² = 1024 к (-1) = -1024

Збир стварног броја и имагинарног броја

Када са имагинарним додате стварни број, резултат није ни стваран ни имагинаран, то је нова врста броја која се зове сложен број.

На пример, ако је Кс = 3,5 и И = 3,75и, резултат је комплексни број:

З = Кс + И = 3,5 + 3,75 и

Имајте на уму да се стварни и имагинарни делови у збиру не могу груписати, тако да ће сложен број увек имати стварни и имагинарни део.

Ова операција проширује скуп реалних бројева на најшири сложени бројеви.

Апликације

Име замишљених бројева предложио је француски математичар Рене Десцартес (1596-1650) као подсмех или неслагање са предлогом истог који је дао италијански математичар века Раффаелле Бомбелли.

Други велики математичари, попут Еулера и Леибниз-а, подржали су Десцартеса у овом неслагању и назвали имагинарне бројеве амфибијским бројевима, који су били раздвојени између бића и ничега.

Име имагинарних бројева остаје и данас, али њихово постојање и значај су врло стварни и осетљиви, јер се природно појављују у многим пољима физике, као што су:

-Теорија релативности.

-У електромагнетизму.

-Квантна механика.

Вежбе са замишљеним бројевима

- Вежба 1

Пронађите решења следеће једначине:

з ² + 16 = 0

Решење

з ² = -16

Узимајући квадратни корен у оба члана, имамо:

√ (з ² ) = √ (-16)

± з = √ (-1 к 16) = √ (-1) √ (16) = ик 4 = 4и

Другим речима, решења оригиналне једначине су:

з = + 4и оз = -4и.

- Вежба 2

Пронађите резултат подизања имагинарне јединице на снагу 5 минус одузимање замишљене јединице која је подигнута на снагу -5.

Решење

и ⁵ - и- ⁵ = и ⁵ - 1 / и ⁵ = и - 1 / и = и - (и) / (ики) = и - и / (- 1) = и + и = 2и

- Вежба 3

Пронађите резултат следеће операције:

(3и) ³ + 9и

Решење

3 ³ и ³ - 9 = 9 (-и) + 9и = -9и + 9и = 0и

- Вежба 4

Пронађите решења следеће квадратне једначине:

(-2к) ² + 2 = 0

Решење

Једнаџба је распоређена на следећи начин:

(-2к) ² = -2

Затим се узима квадратни корен оба члана

√ ((- 2к) ² ) = √ (-2)

± (-2к) = √ (-1 к 2) = √ (-1) √ (2) = и √ (2) = √2 и

Тада решавамо да к коначно добије:

к = ± √2 / 2 и

То су два могућа решења:

к = (√2 / 2) и

Или ово друго:

к = - (√2 / 2) и

- Вежба 5

Пронађите вредност З дефинисану са:

З = √ (-9) √ (-4) + 7

Решење

Знамо да је квадратни корен негативног реалног броја имагинарни број, на пример √ (-9) је једнак √ (9) к √ (-1) = 3и.

С друге стране, √ (-4) је једнак √ (4) к √ (-1) = 2и.

Тако се оригинална једначина може заменити са:

3и к 2и - 7 = 6 и ² - 7 = 6 (-1) - 7 = -6 - 7 = -13

- Вежба 6

Пронађите вредност З која произлази из следеће дељења два сложена броја:

З = (9 - и ² ) / (3 + и)

Решење

Бројач израза може се узети у обзир користећи следеће својство:

Тако:

З = / (3 + и)

Добијени израз је поједностављен у наставку, остављајући

З = (3 - и)

Референце

1. Еарл, Р. Сложени бројеви. Опоравак од: матхс.ок.ац.ук
2. Фигуера, Ј. 2000. Математика 1. Разнолико. ЦО-БО издања.
3. Хоффманн, Ј. 2005. Избор тема из математике. Монфорт Публицатионс.
4. Јименез, Р. 2008. Алгебра. Прентице Халл.
5. Википедиа. Имагинарни број. Опоравак од: ен.википедиа.орг