ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ: ИСТОРИЈА, СВОЈСТВА, ОПЕРАЦИЈЕ, ПРИМЕРИ - МАТХС - 2025

У природни бројеви су они који служе да се изброји број елемената неког скупа. На пример, природни бројеви су они који се користе да би се открило колико јабука је у кутији. Такође се користе за наручивање елемената скупа, на пример прво грејдера по величини.

У првом случају говоримо о кардиналним бројевима, а у другом о редним бројевима, у ствари, "први" и "други" су редни природни бројеви. Супротно томе, један (1), два (2) и три (3) су кардинални природни бројеви.

Слика 1. Природни бројеви су они који се користе за бројање и наређивање. Извор: Пикабаи.

Осим што се користе за бројање и наређивање, природни бројеви се такође користе као начин за препознавање и разликовање елемената одређеног скупа.

На пример, лична карта има јединствени број који се додељује свакој особи која припада одређеној земљи.

У математичким нотацијама скуп природних бројева означава се овако:

ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, ………}

А скуп природних бројева са нулом означен је на други начин:

ℕ ⁺ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ………}

У оба низа елипсе означавају да елементи настављају узастопно до бесконачности, а реч бесконачност је начин да се каже да скуп нема краја.

Без обзира колико велики природни број може бити, увек можете добити следећи највећи.

Историја

Пре него што су се појавили природни бројеви, односно скуп симбола и имена за означавање одређеног износа, први људи су користили други сет за упоређивање, на пример прсте на рукама.

Дакле, да би рекли да су пронашли стадо од пет мамута, користили су прсте једне руке да симболишу тај број.

Овај систем је могао да варира од једне до друге људске групе, можда су други уместо прстију користили групу штапова, камења, огрлица или перли у ужету. Али најсигурније је да су користили прсте.

Тада су се почели појављивати симболи који представљају одређену количину. У почетку су то били трагови на кости или штапу.

Из Месопотамије, која је сада ирачка нација, познате су клинописне гравуре на глиненим плочама, које представљају нумеричке симболе и датирају из 400. године пре нове ере.

Симболи су се развијали, па су Грци и касније Римљани користили слова за означавање бројева.

Арапски бројеви

Арапски бројеви су систем који данас користимо и у Европу су их донијели Арапи који су окупирали Иберијско полуострво, али они су заправо изумљени у Индији, због чега су познати као Индо-Арапски бројевни систем.

Наш систем бројања заснован је на десет, јер има десет прстију.

Имамо десет симбола да изразимо било коју нумеричку количину, по један симбол за сваки прст руке.

Ови симболи су:

Помоћу ових симбола могуће је представити било коју количину помоћу позиционог система: 10 је десет нула јединица, 13 је десет и три јединице, 22 две десетине две јединице.

Мора бити јасно да су, поред симбола и система бројања, природни бројеви одувек постојали и људи су их на неки или други начин користили.

Својства природних бројева

Скуп природних бројева је:

ℕ + = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ………}

А са њима можете пребројати број елемената у другом скупу или их такође наручити, ако је сваком додељен природни број.

Бесконачно је и избројиво

Скуп природних бројева је уређени скуп који садржи бесконачне елементе.

Међутим, то је бројив низ у смислу да је могуће знати колико елемената или природних бројева има између једног и другог броја.

На пример, знамо да између 5 и 9 постоји пет елемената, укључујући 5 и 9.

То је уредан сет

Будући да сте наручени скуп, можете знати који су бројеви после или пре одређеног броја. На овај начин је могуће успоставити, између два елемента природног скупа, поређење односа попут ових:

7> 3 значи да је седам већа од три

2 <11 чита се два мање од једанаест

Могу се груписати заједно (операција додавања)

3 + 2 = 5 значи да ако спојите три елемента са два елемента, имате пет елемената. Симбол + означава операцију додавања.

Операције са природним бројевима

- Зброј

1. - Додавање је унутрашња операција , у смислу да ако се додају два елемента скупа ℕ природних бројева добиће се још један елемент који припада поменутом скупу. Симболично би се гласило овако:

2. - Операција зброја на природној материји је комутативна, што значи да је резултат исти чак и ако су додаци обрнути. Симболично се изражава овако:

Ако су а ∊ ℕ и б ∊ ℕ , тада је а + б = б + а = ц где је ц ∊ ℕ

На пример, 3 + 5 = 8 и 5 + 3 = 8, где је 8 елемент природних бројева.

3.- Збир природних бројева испуњава асоцијативно својство:

а + б + ц = а + (б + ц) = (а + б) + ц

Пример ће то учинити јаснијим. Можемо додати овако:

3 + 6 + 8 = 3 + (6 + 8) = 3 + 14 = 17

И на овај начин такође:

3 + 6 + 8 = (3 + 6) + 8 = 9 + 8 = 17

Коначно, ако додате на овај начин, добићете исти резултат:

3 + 6 + 8 = (3 + 8) + 6 = 11 + 6 = 17

4.- Постоји неутрални елемент суме и овај елемент је нула: а + 0 = 0 + а = а. На пример:

7 + 0 = 0 + 7 = 7.

- одузимање

- Оператор одузимања означен је симболом -. На пример:

5 - 3 = 2.

Важно је да је први операнд већи или једнак (≥) од другог операнда, јер у противном операција одузимања не би била дефинисана у природним подацима:

а - б = ц, где је ц ∊ ℕ ако и само ако је а ≥ б.

- Множење

-Множивање се означава са меанс тако да се дода б пута. На пример: 6 ⋅ 4 = 6 + 6 + 6 + 6 = 24.

- Дивизија

Подјела се означава са: а ÷ значи колико је пута б у а. На пример, 6 ÷ 2 = 3, јер се 2 налази у 6 три пута (3).

Примери

Слика 2. Природни бројеви омогућавају да пребројите колико јабука има кутија. Извор: пикабаи

- Пример 1

У једној кутији се броји 15 јабука, док се у другој рачуна 22 јабуке. Ако су све јабуке из другог оквира постављене у прву, колико ће јабука бити у првој кутији?

Одговорити

15 + 22 = 37 јабука.

- Пример 2

Ако је у кутији од 37 јабука 5 уклоњено, колико ће их остати у кутији?

Одговорити

37 - 5 = 32 јабуке.

- Пример 3

Ако имате 5 кутија са 32 јабуке свака, колико ће јабука бити укупно?

Одговорити

Операција би била да се 32 дода са собом 5 пута више него што је овако означено:

32 ⋅ 5 = 32 + 32 + 32 + 32 + 32 = 160

- Пример 4

Желите да поделите кутију од 32 јабуке на 4 дела. Колико ће јабука садржавати сваки дио?

Одговорити

Операција је подјела која је означена овако:

32 ÷ 4 = 8

Односно, постоје четири групе од осам јабука свака.

Референце

1. Сет природних бројева за пети разред основне школе. Опораван од: Ацтивитиеседуцативас.нет
2. Математика за децу. Природни бројеви. Опоравак од: елхуеводецхоцолате.цом
3. Мартха. Природни бројеви. Опоравак од: суперпроф.ес
4. Наставник. Природни бројеви. Опоравак од: унпрофесор.цом
5. википедиа. Природан број. Опоравак од: википедиа.цом