ОСНОВНИ БРОЈЕВИ: КАРАКТЕРИСТИКЕ, ПРИМЕРИ, ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

Основни бројеви , који се називају и апсолутни апсолутни, су они природни бројеви који су само дељиви и 1. Ова категорија броји 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и многи плус.

Уместо тога, сложени број је сам дељив са 1, а најмање један други број. Имамо на пример 12, који је подељен са 1, 2, 4, 6 и 12. По договору, 1 није укључен у листу основних бројева или у листу једињења.

Слика 1. Неки једноставни бројеви. Извор: Викимедиа Цоммонс.

Познавање правих бројева датира из старих времена; стари Египћани су их већ користили и то су сигурно били познати много раније.

Ови бројеви су веома важни, јер било који природни број може бити представљен производом правих бројева, а овај је приказ јединствен, осим редоследом фактора.

Та је чињеница у потпуности утврђена у теореми названој Аритметичка темељна теорема која каже да бројеви који нису прости морају бити састављени од продуката бројева који јесу.

Карактеристике правих бројева

Ево главних карактеристика основних бројева:

-Они су бесконачни, с обзиром да без обзира на то колико је био велики број, увек можете пронаћи већи.

-Ако прости број п не дели тачно један други број а, онда се каже да су п и а главни. Када се то догоди, једини заједнички делилац који имају оба је 1.

Није неопходно да апсолутни премијер постане апсолутни премијер. На пример, 5 је примарно, и иако 12 није, оба броја су главна једни другима, јер оба имају 1 као заједнички деитељ.

-Када Једноставни број п дели снагу броја н, он такође дели н. Размотримо 100, што је снага 10, тачније 10 ² . Дешава се да 2 дели и 100 и 10.

-Сви прости бројеви су непарни, осим 2, стога његова задња цифра је 1, 3, 7 или 9. 5 није укључена, јер иако је непарно и једноставно, то никада није коначна бројка другог правог броја. У ствари, сви бројеви који завршавају са 5 су вишеструки од овога и стога нису примарни.

-Ако је п главни и дељив производ два броја аб, ​​тада п дели један од њих. На пример, главни број 3 дели производ 9 к 11 = 99, јер је 3 дељив на 9.

Како знати да ли је број главни

Прималност је име које је додељено квалитети бити главни. Па, француски математичар Пјер де Фермат (1601-1665) пронашао је начин да провери прималност броја, у такозваној малој теорији Фермата, која каже:

"С обзиром на главни природни број п и било који природни број већи од 0, тачно је да је ^п - а вишеструко п, све док је п прост".

То можемо да поткријепимо малим бројевима, на пример претпоставимо да је п = 4, за који већ знамо да није примеран и да је већ = 6:

6 ⁴ - 6 = 1296 - 6 = 1290

Број 1290 није тачно дељив са 4, стога 4 није примарни број.

Хајде да урадимо тест са п = 5, који је приме и иа = 6:

6 ⁵ - 6 = 7766 - 6 = 7760

7760 се дели са 5 јер је било који број који завршава са 0 или 5. У ствари 7760/5 = 1554. Будући да Ферматова мала теорема држи, можемо да осигурамо да је 5 примарни број.

Доказ кроз теорему је ефикасан и директан са малим бројевима, у којима је операција једноставна за извођење, али шта да радимо ако се од нас затражи да сазнамо примарност великог броја?

У том случају, број се сукцесивно дели између свих мањих правих бројева, све док се не утврди тачна дељење или квоцијент буде мањи од дељивача.

Ако је било која подјела тачна, то значи да је број састављен и ако је квоцијент мањи од дјелитеља, то значи да је број прост. Ми ћемо то спровести у решену вежбу 2.

Начини проналаска правог броја

Постоји бесконачно много правих бројева и не постоји јединствена формула која би их одредила. Међутим, гледајући неке основне бројеве попут ових:

3, 7, 31, 127 …

Примећено је да су облика 2 ^н - 1, са н = 2, 3, 5, 7, 9 … У то се уверимо:

2 ² - 1 = 4 - 1 = 3 ; 2 ³ - 1 = 8 - 1 = 7 ; 2 ⁵ - 1 = 32 - 1 = 31 ; 2 ⁷ - 1 = 128 - 1 = 127

Али не можемо да осигурамо да је опћенито 2 ^н - 1 примарно, јер постоје неке вриједности н за које то не ради, на примјер 4:

2 ⁴ - 1 = 16 - 1 = 15

А број 15 није примарни, јер се завршава на 5. Међутим, један од највећих познатих примера, који је пронађен рачунарским прорачунима, је облика 2 ^н - 1 са:

н = 57,885,161

Мерсеннеова формула нас уверава да је 2 ^п - 1 увек главни, све док је п такође приме. На пример, 31 је главни, тако да је сигурно да је 2 ³¹ - 1 такође главни :

2 ³¹ - 1 = 2,147,483,647

Међутим, формула вам омогућава да одредите само неке једноставне бројеве, не све.

Еулерова формула

Следећи полином омогућава проналазак правих бројева под условом да је н између 0 и 39:

П (н) = н ² + н + 41

Касније се у одељку решених вежби налази пример његове употребе.

Сито Ератостена

Ератостен је био физичар и математичар из древне Грчке који је живео у трећем веку пре нове ере.Израдио је графички метод проналажења правих бројева које можемо да применимо у пракси са малим бројевима, а зове се сито Ератостхенес (сито је попут сита).

-Бројеви се постављају у табелу попут оне приказане у анимацији.

- Чак су и бројеви прекрижени, осим 2 за која знамо да су главни. Сви остали су вишеструки од овога и стога нису главни.

- Означени су и множитељи 3, 5, 7 и 11, искључујући све њих, јер знамо да су најважнији.

-Множице од 4, 6, 8, 9 и 10 су већ обележене, јер су сложене и самим тим вишеструке од неких наведених прашума.

-На крају, бројеви који остају неозначени су главни.

Слика 2. Анимација сита Ератостена. Извор: Викимедиа Цоммонс.

Вежбе

- Вежба 1

Помоћу полимера Еулер за једноставне бројеве пронађите 3 броја већа од 100.

Решење

Ово је полином који је Еулер предложио да пронађе једноставне бројеве, а који раде за вредности н између 0 и 39.

П (н) = н ² + н + 41

Помоћу покушаја и грешке бирамо вредност н, на пример н = 8:

П (8) = 8 ² + 8 + 41 = 113

Пошто н = 8 производи примарни број већи од 100, онда полином оцењујемо за н = 9 и н = 10:

П (9) = 9 ² + 9 + 41 = 131

П (10) = 10 ² + 10 + 41 = 151

- Вежба 2

Сазнајте да ли су следећи бројеви главни:

а) 13

б) 191

Решење за

13 је довољно мало да се користи Ферматова мала теорема и помоћ калкулатора.

Користимо а = 2 тако да бројеви нису превелики, мада се могу користити и а = 3, 4 или 5:

2 ¹³ - 2 = 8190

8190 је подељено са 2, пошто је чак, дакле 13 је првобитно. Читалац то може поткријепити радећи исти тест с а = 3.

Решење б

191 је превелик да би се доказао теоремом и заједничким калкулантом, али можемо пронаћи поделу између сваког правог броја. Дељење дијелимо са 2 јер 191 није уједначено и подјела неће бити тачна или је квоцијент мањи од 2.

Покушавамо да поделимо са 3:

191/3 = 63,666 …

И не даје тачан, нити је квоцијент мањи од делитеља (63,666… је ​​већи од 3)

Настављамо тако, покушавајући да поделимо 191 између прајдова 5, 7, 11, 13, а ни тачна подела није постигнута, нити квоцијент мањи од делитеља. Док се не подели са 17:

191/17 = 11, 2352 …

Како није тачно и 11.2352… је мање од 17, број 191 је главни.

Референце

1. Балдор, А. 1986. Аритметика. Издања и дистрибуције Кодекса.
2. Прието, Ц. Основни бројеви. Опоравак од: пагинас.матем.унам.мк.
3. Својства правих бројева. Опоравак од: мае.уфл.еду.
4. Смартицк. Основни бројеви: како их пронаћи помоћу сита Ератостена. Опоравак од: смартицк.ес.
5. Википедиа. Прост број. Опоравак од: ес.википедиа.орг.