РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ: СВОЈСТВА, ПРИМЕРИ И ОПЕРАЦИЈЕ - МАТХС - 2025

У рационални бројеви су сви бројеви могу се добити као поделе два цела броја. Примери рационалних бројева су: 3/4, 8/5, -16/3 и они који се појављују на следећој слици. У рационалном броју наведен је квоцијент, а могуће је и касније ако је потребно.

Слика представља било који предмет, округао за већу удобност. Ако га желимо поделити на 2 једнака дела, као што је у десној, имамо две половине леве и свака вреди 1/2.

Слика 1. Рационални бројеви се користе за поделу целине у неколико делова. Извор: Фреесвг.

Ако га поделимо на 4 једнака дела, добићемо 4 дела и сваки од њих вреди 1/4, као на слици у центру. А ако га морамо поделити на 6 једнаких делова, сваки део би вредео 1/6, што видимо на слици са леве стране.

Наравно, могли бисмо га и поделити на два неједнака дела, на пример, могли бисмо да задржимо 3/4 дела и сачувамо 1/4 дела. Могуће су и друге поделе, као што су 4/6 делова и 2/6 делова. Важно је да је збир свих делова 1.

На овај начин је очигледно да рационалним бројевима можете делити, бројати и дистрибуирати ствари попут хране, новца, земље и свих врста предмета у фракцијама. И тако се повећава број операција које се могу обављати бројевима.

Рационални бројеви се такође могу изразити у децималном облику, као што се може видети у следећим примерима:

1/2 = 0,5

1/3 = 0,3333… ..

3/4 = 0,75

1/7 = 0.142857142857142857 ………

Касније ћемо навести како да пређемо из једног облика у други са примерима.

Својства рационалних бројева

Рационални бројеви, чији скуп ћемо означити словом К, имају следећа својства:

-К укључује природне бројеве Н и целе бројеве З.

Узимајући у обзир да се било који број а може изразити као квоцијент између себе и 1, лако је приметити да међу рационалним бројевима постоје и природни бројеви и цели бројеви.

Тако се природни број 3 може записати као уломак, а такође -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)

На овај начин, К је нумерички скуп који укључује већи број бројева, нешто што је веома потребно, јер „округли“ бројеви нису довољни да опишу све могуће операције које треба обавити.

-Рационални бројеви се могу сабирати, одузимати, множити и делити, а резултат операције је рационалан број: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) к (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

- Између сваког пара рационалних бројева, увек се може наћи други рационални број. Заправо, између два рационална броја налази се бесконачно рационални бројеви.

На пример, између рационалних 1/4 и 1/2 су рационални 3/10, 7/20, 2/5 (и многи други), који се могу верификовати исказивањем као децимале.

-Сваки рационални број може се изразити као: и) цео број или ии) ограничен (строг) или периодични децимални број: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0.16666666 ……

- Исти број се може представити бесконачним еквивалентним фракцијама и сви припадају К. Да видимо ову групу:

Сви они представљају децимални 0.428571 …

- Од свих еквивалентних уломака који представљају исти број, неодредиви фракција, најједноставнија од свих, је канонски представник тог броја. Канонски представник горе наведеног примера је 3/7.

Слика 2.- Скуп К рационалних бројева. Извор: Викимедиа Цоммонс. Увм Едуардо Артур / ЦЦ БИ-СА (хттпс://цреативецоммонс.орг/лиценсес/би-са/4.0).

Примери рационалних бројева

-Пропер фракције, оне у којима је бројник мањи од називника:

- Непробојне фракције, чији је бројник већи од називника:

-Наравни бројеви и цели бројеви:

-Еквивалентне фракције:

Децимални приказ рационалног броја

Када се бројник дели на називник, проналази се децимални облик рационалног броја. На пример:

2/5 = 0,4

3/8 = 0,375

1/9 = 0.11111…

6/11 = 0,545454…

У прва два примера број децималних места је ограничен. То значи да када је подјела извршена, на крају се добије остатак од 0.

С друге стране, у наредна два број децималних места је бесконачан и зато се поставља елипса. У овом другом случају постоји децимал узорак. У случају удела 1/9, број 1 се понавља у недоглед, док је у 6/11 54.

Када се то догоди, децимална казна је периодична и означава се овако:

Децимални знак претворите у део

Ако је то ограничен децимални број, зарез се једноставно елиминира и називник постаје јединица праћена са толико нула колико у декади има цифара. На пример, да трансформишите децимални 1.26 у уломак, напишите га овако:

1,26 = 126/100

Тада се добијена фракција максимално поједностављује:

126/100 = 63/50

Ако је децимални број неограничен, прво се идентификује период. Затим се следе следећи кораци за проналажење резултирајуће фракције:

- Бројач је одузимање између броја (без зареза или зареза) и дела који нема знак за зарез.

- Назив је цео број са чак 9 колико има цифра под обрубом, а исто толико је и броја у децималном делу који нису испод обруба.

Слиједимо овај поступак да трансформишемо децимални број 0.428428428… у дјелић.

- Прво, идентификује се период који је редослед који се понавља: ​​428.

-Потом се врши одузимање броја без зареза или акцента: 0428 из дела који нема обруч, што је 0. То је 428 - 0 = 428.

- Назив је конструиран, знајући да испод обруба постоје 3 фигуре и да су све под ободом. Стога је називник 999.

-На крају се фракција формира и поједностављује ако је могуће:

0,428 = 428/999

Не може се више поједноставити.

Операције са рационалним бројевима

- Додавање и одузимање

Фракције с истим називником

Кад фракције имају исти називник, додавање и / или одузимање је врло лако, јер су бројници једноставно алгебрично додани, остављајући исте као и додаци као и називнику резултата. Коначно, ако је могуће, оно се поједностављује.

Пример

Изведите следећи алгебарски додатак и поједноставите резултат:

Добијена фракција је већ непомирљива.

Фракције са различитим називницима

У овом се случају додаци замјењују једнаким фракцијама с истим називником и тада слиједи већ описани поступак.

Пример

Додајте алгебарски следеће рационалне бројеве, поједностављујући резултат:

Кораци су:

- Одредити најмање уобичајени вишеструки (лцм) називника 5, 8 и 3:

лцм (5,8,3) = 120

Ово ће бити називник резултирајуће фракције без поједностављења.

-За сваки уломак: ЛЦМ поделите на називник и помножите са бројилом. Резултат ове операције се ставља, са одговарајућим знаком, у бројник уломка. На овај начин се добија фракција једнака изворнику, али са ЛЦМ-ом као називником.

На пример, за први уломек је бројник конструисан овако: (120/5) к 4 = 96 и добијамо:

На исти начин наставите и за преостале фракције:

Коначно, замењују се еквивалентне фракције, а да се не заборави њихов знак, и изврши алгебарска сума бројача:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- Умножавање и дељење

Умножавање и дељење се врши према следећим правилима:

Слика 3. Правила за множење и дељење рационалних бројева. Извор: Ф. Запата.

У сваком случају, важно је запамтити да је множење комутативно, што значи да редослед фактора не мења производ. То се не догађа поделом, па се мора водити рачуна о редоследу између дивиденде и дељеника.

Пример 1

Извршите следеће операције и поједноставите резултат:

а) (5/3) к (8/15)

б) (-4/5) ÷ (2/9)

Одговор на

(5/3) к (8/15) = (5 к 8) / (3 к 15) = 15/120 = 1/8

Одговор б

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 к 9) / (5 к 2) = -36 / 10 = -18/5

Пример 2

Луиса је имала 45 долара. Десетину је потрошио купујући књигу, а 2/5 онога што је остало на мајици. Колико је новца остало Луиси? Резултат изразите као непомирљив део.

Решење

Цена књиге (1/10) к 45 УСД = 0,1 к 45 УСД = 4,5 УСД

Због тога је Луиса остала:

45 - 4,5 $ = 40,5 $

Са тим новцем Луиса је отишла у продавницу одеће и купила мајицу, чија је цена:

(2/5) к 40,5 $ = 16,2 УСД

Сада Луиса у свом портфељу:

40,5 - 16,2 $ = 24,3 $

Да бисте га изразили као део, пише се овако:

24.3 = 243/10

То је неизводљиво.

Референце

1. Балдор, А. 1986. Аритметика. Издања и дистрибуције Кодекса.
2. Царена, М. 2019. Приручник за математику. Национални универзитет Литорал.
3. Фигуера, Ј. 2000. Математика 8. Едиционес Цо-Бо.
4. Јименез, Р. 2008. Алгебра. Прентице Халл.
5. Рационални бројеви. Опоравак од: Циманет.уоц.еду.
6. Рационални бројеви. Опоравак од: вебделпрофесор.ула.ве.