Угао Инсцрибед круга је онај који има свој врхунац у круг и његови зраци су секанта или тангенте на њега. Као посљедица, уписани угао ће увијек бити конвексан или раван.
На слици 1 представљено је неколико углова уписаних у њихове одговарајуће обрисе. Угао ∠ЕДФ је уписан тако да његова врхова Д буде на ободу и његове две зраке =.
У једнакомерном троуглу углови поред базе су једнаки, па је тхерефореБЦО = ∠АБЦ = α. С друге стране ∠ЦОБ = 180º - β.
С обзиром на збир унутрашњих углова троугла ЦОБ, имамо:
α + α + (180º - β) = 180º
Из чега произлази да је 2 α = β, или оно што је еквивалентно: α = β / 2. То се слаже са оним што теорема 1 наводи: мера уписаног угла је половина централног угла, ако оба угла подлежу истој акорду.
Демонстрација 1б
Слика 6. Помоћна конструкција показује да је α = β / 2. Извор: Ф. Запата са Геогебром.
У овом случају имамо уписани угао ∠АБЦ, у коме је центар О кружнице унутар угла.
Да бисте доказали теорем 1 у овом случају, нацртајте помоћни зрак) .пусх ({});
Слично томе, централни углови β 1 и β 2 су повезани са зраком. Тако имамо исту ситуацију као што је приказано 1а, тако да се може рећи да је α 2 = β 2 /2 и а 1 = β 1 /2. Ас α = α 1 + α 2 и β = β 1 + β 2 су тиме да α = α 1 + α 2 = β 1 /2 + β 2 /2 = (β 1 + β 2 ) / 2 = β / два.
У закључку α = β / 2, што испуњава теорему 1.
- Теорем 2
Слика 7. Уписани углови једнаке мере α, јер подупиру исти лук А⌒Ц. Извор: Ф. Запата са Геогебром.
- Теорем 3
Уписани углови који подвлаче акорде исте мере су једнаки.
Слика 8. Уписани углови који подвлаче акорде једнаке мере имају једнаку меру β. Извор: Ф. Запата са Геогебром.
Примери
- Пример 1
Покажите да је уписани угао који подноси пречник прави угао.
Решење
Централни угао ∠АОБ повезан са пречником је раван угао, чија је мера 180 °.
Према теореми 1, сваки угао уписан у обод који подсећа на исту акорд (у овом случају пречник) има меру половину централног угла који подвлачи исту акорд, што је за наш пример 180º / 2 = 90º.
Слика 9. Сваки уписани угао који подноси пречник је прави угао. Извор: Ф. Запата са Геогебром.
- Пример 2
Линија (БЦ), тангента на А до обода Ц, одређује уписани угао ∠БАЦ (види слику 10).
Проверите да ли је испуњена теорема 1 уписаних углова.
Слика 10. Уписани угао БАЦ и његов средишњи конвексни угао АОА. Извор: Ф. Запата са Геогебром.
Решење
Угао ∠БАЦ је уписан јер је његова врхова на ободу, а његове странице [АБ) и [АЦ) су додирне у односу на обод, тако да је дефиниција уписаног угла задовољена.
Са друге стране, уписани угао ∠БАЦ подноси лук А⌒А, што је цео обим. Централни угао који подвлачи лук А⌒А је конвексни угао чија је мера пуни угао (360 °).
Уписани угао који подвлачи цео лук мери половину припадајућег централног угла, односно ∠БАЦ = 360º / 2 = 180º.
Са свим горе наведеним, потврђено је да овај конкретни случај испуњава теорему 1.
Референце
- Балдор. (1973). Геометрија и тригонометрија. Централноамеричка културна издавачка кућа.
- ЕА (2003). Елементи геометрије: са вежбама и компасом. Универзитет у Меделину.
- Геометри 1ст ЕСО. Углови у обиму. Опоравак од: еду.кунта.ес/
- Сва наука. Предложене вежбе углова у обиму. Опоравак од: францеспхисицс.блогспот.цом
- Википедиа. Уписани угао. Опоравак од: ес.википедиа.цом