СПОЈИТЕ УНУТРАШЊЕ И СПОЉАШЊЕ УГЛОВЕ: ПРИМЕРИ, ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

У углове Коњугати су они додати у резултатима да буде 360, без обзира на наведених углова суседна или не. На слици 1 приказана су два коњугирана угла, означена са α и β.

У овом случају, углови α и β на слици имају заједничку вршку и њихове стране су заједничке, па су суседне. Однос међу њима се изражава на следећи начин:

α + β = 360 °

Слика 1. Два коњугована централна угла, збир. Извор: Викимедиа Цоммонс. Није доступан аутор за читање машина. Тхиаго Р Рамос претпоставља (на основу тврдњи о ауторским правима). То је класификација углова по њиховој суми. Остале важне дефиниције укључују комплементарне углове, чија је сума 90º, и допунске углове, који укупно су 180º.

С друге стране, размотримо сада две паралелне линије пресечене секантом, а чији је распоред приказан доле:

Слика 2. Паралелне линије исечене секантом. Извор: Ф. Запата.

Линије МН и ПК су паралелне, док је линија РС секантна, пресијецајући паралеле у двије тачке. Као што се може видети, ова конфигурација одређује формирање 8 углова који су означени малим словима.

Па, према дефиницији датој на почетку, углови а, б, ц и д су коњугирани. И на исти начин су е, ф, г и х, јер су оба случаја тачна:

а + б + ц + д = 360 °

И

е + ф + г + х = 360 °

За ову конфигурацију, два угла су коњугована ако су на истој страни у односу на секвенцијалну линију РС и оба су унутрашња или спољна. У првом случају говоримо о унутрашњим угловима коњугата, док су у другом то спољашњи углови коњугата.

Примери

На слици 2, спољашњи углови су они који су изван области ограничене линијама МН и ПК, они су углови А, Б, Г и Х. Иако су углови између две линије Ц, Д, Е и Ф.

Сада је потребно анализирати који су углови са леве и који десно од секанте.

Лево од РС су углови А, Ц, Е и Г. А са десне стране су углови Б, Д, Ф и Х.

Одмах настављамо са одређивањем коњугацијских парова, према дефиницији датој у претходном одељку:

-А и Г, споља и лево од РС.

-Д и Ф, унутрашњи и десно од РС.

-Б и Х, споља и десно од РС.

-Ц и Е, унутрашњи и лево од РС.

Својство коњугираних углова између паралелних линија

Коњуговани углови између паралелних линија су допунски, то јест, њихова сума је једнака 180º. На овај начин је за слику 2 тачно следеће:

А + Г = 180 °

Д + Ф = 180 °

Б + Х = 180 °

Ц + Е = 180 °

Парови одговарајућих углова за паралелне линије

Они су они који се налазе на истој страни секантне линије, нису суседни и један од њих је унутрашњи, а други спољни. Важно је да их визуелизујете, јер је њихова мера иста, јер су под вертелом супротни углови.

Враћајући се слици 2, одговарајући парови углова су идентификовани као:

-А и Е

-Ц и Г

-Б и Ф

-Д и Х

Унутрашњи углови четверострана

Четверокутници су четверострани полигони, међу којима су квадрат, правокутник, трапез, паралелограм и ромб. Без обзира на њихов облик, у било којем од њих тачно је да је збир њихових унутрашњих углова 360 °, па задовољавају дефиницију дану на почетку.

Погледајмо неколико примера четверострана и како израчунати вредност њихових унутрашњих углова према подацима из претходних одељка:

Примери

а) Три угла четверостране мере су 75 °, 110 ° и 70 °. Колико треба измерити преостали угао?

б) На слици 3 и пронађите вредност угла ∠К.

ц) Израчунајте меру угла ∠А на слици 3 ии.

Решење за

Нека је α угао који недостаје, задовољава се да:

α + 75º + 110º + 70º = 360º → α = 105º

Решење б

На слици 3и је трапез и два његова унутрашња угла су тачна, која су у угловима означена обојеним квадратом. За овај четверострани је потврђено следеће:

∠Р + ∠С + ∠П + ∠К = 360º; ∠С = ∠Р = 90 °; ∠П = 60º

Тако:

∠ К = 2 к 90º + 60º = 240º

Решење ц

Четверокут на слици 3 ии је такође трапез, за ​​шта важи следеће:

∠А + ∠Б + ∠Ц + ∠Д = 360º

Тако:

4к -5 + 3к + 10 +180 = 360

7к + 5 = 180

к = (180 - 5) / 7

к = 25

Да бисмо одредили угао који се тражи у изјави, користимо да је ∠А = 4к - 5. Под заменом претходно израчунате вредности к следи да је ∠А = (4 × 25) -5 = 95º

Вежбе

- Вежба 1

Знајући да је један од приказаних углова 125 °, пронађите мере 7 преосталих углова на следећој слици и оправдајте одговоре.

Слика 4. Линије и углови вјежбе 1. Извор: Ф. Запата.

Решење

Угао 6 и угао 125 ° су унутрашњи коњугати, чија је сума 180 °, према својству коњугованих углова, дакле:

+6 + 125º = 180º → ∠6 = 180º - 125º = 55º

С друге стране, ∠6 и ∠8 су вертикли супротних углова, чија је мера иста. Стога меасурес8 мери 55 °.

Угао ∠1 је такође супротан врху на 125º, тада можемо да потврдимо да је ∠1 = 125º. Такође се можемо жалити на чињеницу да одговарајући парови углова имају исту меру. На слици су ови углови:

∠7 = 125 º

∠2 = ∠6 = 55 º

∠1 = ∠5 = 125º

∠4 = ∠8 = 55 º

- Вежба 2

На следећој слици пронађите вредност к и вредности свих углова:

Слика 5. Линије и углови за вежбу 2. Извор: Ф. Запата.

Решење

Пошто су то одговарајући парови, произлази да је Ф = 73º. А са друге стране, збир коњугираних парова је 180º, дакле:

3к + 20º + 73º = 180º

3к = 180º - 73º -20º = 87

Коначно вредност к је:

к = 87/3 = 29

Што се тиче свих углова, они су наведени на следећој слици:

Слика 6. Углови настали током вежбе 2. Извор: Ф. Запата.

Референце

1. Групе углова. Појашњење комплементарних, допунских и додатних углова. Опоравак од: тхисигет.цом/
2. Балдор, А. 1983. Геометрија планета и свемира и тригонометрија. Патриа Цултурал Гроуп.
3. Цоррал, М. Математика ЛибреТектс: Англес. Опоравак од: матх.либретектс.орг.
4. Матхманиа. Класификација и конструкција углова по њиховом мерењу. Опоравак од: матхеманиа.цом/
5. Вентвортх, Г. Плане Геометри. Опоравак од: гутенберг.орг.
6. Википедиа. Коњугирајте углове. Опоравак од: ес.википедиа.орг.