ПАРАЛЕЛЕПИПЕД: КАРАКТЕРИСТИКЕ, ВРСТЕ, ПОВРШИНА, ЗАПРЕМИНА - МАТХС - 2025

Паралелепипед је геометријска орган сачињен од шест лица, од којих је главна карактеристика је да сви њени лицима су паралелограми и такође да његове супротни лица су паралелне. То је уобичајени полиедар у нашем свакодневном животу, јер га можемо пронаћи у кутијама за ципеле, облику опеке, облику микроталасне пећнице итд.

Будући да је полиедар, паралелепипед обухвата коначан волумен, а сва његова лица су равна. То је део групе призми, то су они полиедри у којима су све његове врхови садржани у две паралелне равни.

Елементи паралелепипеда

Лица

Свака од регија је формирана паралелограмима који ограничавају паралелепипед. Паралелепипед има шест лица, где свако лице има четири суседна лица и једно супротно. Такође је свако лице паралелно са његовом супротношћу.

Ивице

Они су заједничка страна два лица. Укупно, паралелепипед има дванаест ивица.

Вертек

То је заједничка тачка три лица која су једна уз другу два по два. Паралелепипед има осам врхова.

Дијагонално

С обзиром на два лица паралелепипеда насупрот другом, можемо нацртати линијски сегмент који прелази из врха једног лица у супротни врх другог.

Овај сегмент је познат као дијагонала паралелепипеда. Сваки паралелепипед има четири дијагонале.

Центар

То је тачка у којој се пресечу све дијагонале.

Карактеристике паралелепипеда

Као што смо већ поменули, ово геометријско тело има дванаест ивица, шест лица и осам врхова.

У паралелепипеду се могу препознати три скупа која су формирана од четири ивице, а које су паралелне једна са другом. Поред тога, ивице поменутих сетова такође имају својство да имају исту дужину.

Друго својство које паралелепипеди поседују је да су они конвексни, то јест, ако узмемо било који пар тачака који припадају унутрашњости паралелепипеда, сегмент одређен одређеним паром тачака такође ће бити унутар паралелепипеда.

Поред тога, паралелепипеди који су конвексни полиедри у складу су са Еулеровом теоремом за полиедре, који нам омогућава однос између броја лица, броја ивица и броја врхова. Овај однос је дат у облику следеће једначине:

Ц + В = А + 2

Ова карактеристика је позната као Еулерова карактеристика.

Где је Ц број лица, В број врхова и А број ивица.

Врсте

Паралелепипеде можемо класификовати на основу њихових лица, у следеће врсте:

Ортохедрон

Они су паралелепипеди где њихова лица формирана су од шест правоугаоника. Сваки правоугаоник је окомит на оне који деле ивицу. Они су најчешћи у нашем свакодневном животу, а то је уобичајени облик кутија за ципеле и цигле.

Редовна коцка или хексахедрон

Ово је посебан случај претходног, где је свако лице квадрат.

Коцка је такође део геометријских тела која се називају платонска чврстоћа. Платонска чврста супстанца је конвексни вишеједар, тако да су и његова лица и унутрашњи углови једнаки једни другима.

Рхомбохедрон

То је паралелепипед са ромбовима за лице. Сви ти ромбови су једнаки једни другима, пошто деле ивице.

Рхомбохедрон

Њених шест лица су ромбоиди. Подсјетимо да је ромбоид полигон са четири стране и четири угла који су једнаки два до два. Ромбоиди су паралелограми који нису ни квадрат, ни правоугаоник, нити ромбови.

С друге стране, коси паралелепипеди су они у којима се барем једна висина не слаже са њиховом ивицом. У ову класификацију можемо укључити ромбохедре и ромбохедре.

Израчун дијагонале

Да би се израчунао је дијагонала једног ортхохедрон можемо користити Питагорина теорема за Р ³ .

Подсетимо се да ортоедар има карактеристику да је свака страна окомита на стране које деле ивицу. Из ове чињенице се може закључити да је сваки руб окомит на оне који деле врхове.

За израчунавање дужине дијагонале ортоедра поступамо на следећи начин:

1. Израчунавамо дијагоналу једног од лица која ћемо ставити као базу. За то користимо питагорејску теорему. Назовимо ову дијагоналу д _б .

2. Затим са д _б можемо формирати нови прави троугао, тако да је хипотенуза поменутог троугла дијагонала Д коју тражимо.

3. Поново користимо питагорејску теорему и имамо да је дужина ове дијагонале:

Други начин да се дијагонале графички израчуне је додавањем слободних вектора.

Подсјетимо да су додата два слободна вектора А и Б стављањем репа вектора Б врхом вектора А.

Вектор (А + Б) је онај који почиње на репу А и завршава се на врху Б.

Размотримо паралелепипед за који желимо да израчунамо дијагоналу.

Ивице поистовећујемо са погодно оријентисаним векторима.

Затим додамо ове векторе и резултирајући вектор ће бити дијагонала паралелепипеда.

Подручје

Подручје паралелепипеда дано је збрајањем сваког од подручја његових лица.

Ако неку од страна одредимо као базу,

А _Л + 2А _Б = Укупна површина

Где је А _Л једнак збиру површина свих страна поред базе, које се назива бочно подручје, а А _Б је површина базе.

У зависности од врсте паралелепипеда са којим радимо, можемо да напишемо ову формулу.

Подручје ортоедра

Дава се формулом

А = 2 (аб + бц + ца).

Пример 1

С обзиром на следећи ортоедар, са страницама а = 6 цм, б = 8 цм и ц = 10 цм, израчунајте површину паралелепипеда и дужину његове дијагонале.

Користећи формулу за подручје ортоедра имамо то

А = 2 = 2 = 2 = 376 цм ² .

Имајте на уму да је дужина било које од четири дијагонале једнака ортоедру.

Користећи питагорејску теорему за простор, то имамо

Д = (6 ² + 8 ² + 10 ² ) ^1/2 = (36 + 64 + 100) ^1/2 = (200) ^1/2

Подручје коцке

Пошто свака ивица има исту дужину, имамо да су а = б и а = ц. Замјена у претходној формули коју имамо

А = 2 (аа + аа + аа) = 2 (3а ² ) = 6а ²

А = 6а ²

Пример 2

Кутија играће конзоле је у облику коцке. Ако ову кутију желимо омотати поклоном, колико папира бисмо потрошили знајући да је дужина ивица коцке 45 цм?

Помоћу формуле за површину коцке то добијамо

А = 6 (45 цм) ² = 6 (2025 цм ² ) = 12150 цм ²

Подручје ромбоедра

Пошто су сва њихова лица иста, само израчунајте површину једног од њих и помножите их са шест.

Имамо да се површина ромба може израчунати кроз његове дијагонале следећом формулом

А _Р = (Дд) / 2

Из ове формуле произлази да је укупна површина ромбоедра

А _Т = 6 (Дд) / 2 = 3Дд.

Пример 3

Лица следећих ромбоедра формирана су ромбом чија је дијагонала Д = 7 цм и д = 4 цм. Ваша област ће бити

А = 3 (7цм) (4цм) = 84цм ² .

Подручје ромбоедра

Да бисмо израчунали површину ромбоедра, морамо израчунати површину ромбоида који га чине. Пошто паралелепипеди испуњавају својство да супротне стране имају исто подручје, можемо странице повезати у три пара.

На тај начин имамо да ће то бити ваше подручје

А _Т = 2б ₁ х ₁ + 2б ₂ х ₂ + 2б ₃ х ₃

Где су б _и базе повезане са страницама и х _и њихова релативна висина одговара тим базама.

Пример 4

Размотримо следећи паралелепипед,

где страна А и страна А '(њена супротна страна) имају базу б = 10 и висину х = 6. Обележено подручје ће имати вредност

А ₁ = 2 (10) (6) = 120

Б и Б 'имају б = 4 и х = 6, дакле

А ₂ = 2 (4) (6) = 48

ИЦ и Ц ', дакле, имају б = 10 и х = 5

А ₃ = 2 (10) (5) = 100

Коначно је подручје ромбоедра

А = 120 + 48 + 100 = 268.

Запремина паралелепипеда

Формула која нам даје волумен паралелепипеда је производ површине једног од његових лица за висину која одговара том лицу.

В = А _Ц Х _Ц

У зависности од врсте паралелепипеда, ова формула се може поједноставити.

Стога имамо на пример да би волумен ортоедра био дат

В = абц.

Где а, б и ц представљају дужину ивица ортоедра.

А у конкретном случају коцка је

В = а ³

Пример 1

Постоје три различита модела кутија за колачиће и желите да знате у који од ових модела можете да сместите више колачића, односно који од кутија има највећу запремину.

Прва је коцка чија ивица има дужину од = 10 цм

Запремина ће му бити В = 1000 цм ³

Други има ивице б = 17 цм, ц = 5 цм, д = 9 цм

Стога је запремина В = 765 цм ³

А трећи има е = 9 цм, ф = 9 цм и г = 13 цм

Запремина му је В = 1053 цм ³

Стога је кутија са највећом запремином трећа.

Друга метода за добијање волумена паралелепипеда је употреба векторске алгебре. Конкретно, производ са троструким тачкама.

Једна од геометријских интерпретација које има троструки скаларни производ је волумен паралелепипеда, чије су ивице три вектора који имају исту верзију као почетна тачка.

На овај начин, ако имамо паралелепипед и желимо да знамо колики је његов волумен, довољно је да га представимо у координатном систему у Р3 ^тако што ћемо једну од његових врхова подударити са пореклом.

Затим представљамо ивице које се подударају у почетку са векторима као што је приказано на слици.

И на овај начин имамо да је волумен поменутог паралелепипеда дат

В = - АкБ ∙ Ц-

Или, еквивалентно, запремина је одредница матрице 3 × 3, формирана компонентама рубних вектора.

Пример 2

Када представља следећу паралелопипедне у Р ³ видимо да вектори који га одређују су следећа

у = (-1, -3,0), в = (5, 0, 0) и в = (-0.25, -4, 4)

Користећи троструки скаларни производ који имамо

В = - (укв) ∙ в-

укв = (-1, -3,0) к (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(укв) ∙ в = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Из овога закључујемо да је В = 60

Размотримо сада следећи паралелепипед у Р3 чије су ивице одређене векторима

А = (2, 5, 0), Б = (6, 1, 0) и Ц = (3, 4, 4)

Кориштење одредница даје нам то

Стога имамо да је волумен поменутог паралелепипеда 112.

Оба су еквивалентна начина израчунавања запремине.

Савршен паралелепипед

Ортохедрон је познат као Еулерова цигла (или Еулеров блок) који испуњава својство да су и дужина његових ивица и дужина дијагонала сваке од њихових лица читави бројеви.

Иако Еулер није први научник који је проучавао ортоедре који испуњавају ово својство, пронашао је занимљиве резултате о њима.

Најмању Еулерову циглу открио је Паул Халцке, а дужине њених ивица су а = 44, б = 117 и ц = 240.

Отворени проблем у теорији бројева је следећи

Постоје ли савршени ортоедри?

Тренутно на ово питање није одговорено, јер није могуће доказати да таква тела не постоје, али ниједно није пронађено.

До сада је показано да савршени паралелепипеди заиста постоје. Прва која је откривена има дужину њених ивица, вредности 103, 106 и 271.

Библиографија

1. Гуи, Р. (1981). Нерешени проблеми у теорији бројева. Спрингер.
2. Ландаверде, Ф. д. (1997). Геометрија. Напредак.
3. Леитхолд, Л. (1992). Прорачун аналитичком геометријом. ХАРЛА, СА
4. Рендон, А. (2004). Технички цртеж: Књига активности 3, 2. Бацхиллерато. Тебар.
5. Ресницк, Р., Халлидаи, Д. и Кране, К. (2001). Физика Вол. 1. Мексико: континентални.