АСОЦИЈАТИВНО СВОЈСТВО: САБИРАЊЕ, МНОЖЕЊЕ, ПРИМЕРИ, ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

Асоцијативна имовина од тога представља асоцијативни карактер операције додатак у разним математичким сетовима. У њему су повезана три (или више) елемената наведених скупова, званих а, б и ц, тако да је увек тачно:

а + (б + ц) = (а + б) + ц

На овај начин се гарантује да је, без обзира на начин груписања ради извођења операције, резултат исти.

Слика 1. Ми користимо асоцијативно својство сабирања више пута када радимо аритметичке и алгебарске операције. (Цртеж: фреепик Састав: Ф. Запата)

Али треба приметити да асоцијативно својство није синоним за комутативно својство. Односно, знамо да редослед додатака не мења збир или да редослед фактора не мења производ. Дакле, за суму се може написати овако: а + б = б + а.

Међутим, у асоцијативном својству је другачије, будући да се редослед елемената који се додају одржава и шта се мења је операција која се прво извршава. Што значи да додавање првог (б + ц) и додавање а овом резултату није битно него започињање додавања а са додавањем резултата ц.

Многе важне операције попут додавања су асоцијативне, али нису све. На пример, при одузимању реалних бројева догађа се да:

а - (б - ц) = (а - б) - ц

Ако је а = 2, б = 3, ц = 1, тада:

2– (3 - 1) = (2 - 3) - 1

0 = -2

Асоцијативно својство множења

Као што је учињено за додавање, асоцијативно својство множења каже да:

а ˟ (б ˟ ц) = (а ˟ б) ˟ ц

У случају скупа реалних бројева, лако је потврдити да је то увек тако. На пример, користећи вредности а = 2, б = 3, ц = 1, имамо:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟ 3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

Стварни бројеви испуњавају асоцијативно својство и сабирања и множења. С друге стране, у другом скупу, попут вектора, збир је асоцијативан, али умрежени производ или векторски производ нису.

Примене асоцијативног својства множења

Предност операција у којима је асоцијативно својство испуњено је могућност груписања на најприкладнији начин. То знатно олакшава резолуцију.

На пример, претпоставимо да у малој библиотеци постоје 3 полице са 5 полица. На свакој полици налази се 8 књига. Колико је књига укупно?

Операцију можемо извести овако: укупно књига = (3 к 5) к 8 = 15 к 8 = 120 књига.

Или овако: 3 к (5 к 8) = 3 к 40 = 120 књига.

Слика 2. Једна примена асоцијативног својства множења је израчунавање броја књига на свакој полици. Слика створио Ф. Запата.

Примери

-У скуповима природних, целих, рационалних, реалних и сложених бројева испуњено је асоцијативно својство сабирања и множења.

Слика 3. За реалне бројеве испуњено је асоцијативно својство сабирања. Извор: Викимедиа Цоммонс.

-За полиноми се такође примењују у овим операцијама.

-У случајевима операција одузимања, дељења и експоненције, асоцијативно својство не важи за стварне бројеве или полином.

-У случају матрица, асоцијативно својство се испуњава за сабирање и множење, мада у другом случају комутативност није испуњена. То значи да је, с обзиром на матрице А, Б и Ц, тачно да:

(А к Б) к Ц = А к (Б к Ц)

Али … А к Б = Б к А

Асоцијативно својство у векторима

Вектори формирају различите скупове од реалних бројева или сложених бројева. Операције дефиниране за скуп вектора нешто су различите: постоје збрајање, одузимање и три врсте производа.

Збир вектора испуњава асоцијативно својство, као што су то и бројеви, полиноми и матрице. Што се тиче скаларних производа, скаларних вектора и крижа који су направљени између вектора, он их не испуњава, али скаларни производ, који је друга врста операције између вектора, испуњава га, узимајући у обзир следеће:

-Производ скалара и вектора резултира вектором.

-И када скаларно множе два вектора, долази до скаларних резултата.

Према томе, с обзиром на векторе в , у и в, а поред тога и скаларни λ, могуће је написати:

- Збир вектора: в + ( у + в ) = ( в + у) + в

-Скаларни производ: λ ( в • у ) = (λ в ) • у

Ово последње је могуће захваљујући чињеници да је в • у скалар, а λ в вектор.

Међутим:

в × ( у × в ) = ( в × у) × в

Факторизација полинома груписањем појмова

Ова апликација је врло занимљива, јер као што је речено раније, асоцијативно својство помаже у решавању одређених проблема. Збир мономала је асоцијативан и то се може користити за факторинг када се очигледан заједнички фактор не појави на први поглед.

На пример, претпоставимо да се од вас тражи да уврстите фактор: к ³ + 2 к ² + 3 к +6. Овај полином нема заједнички фактор, али хајде да видимо шта се дешава ако је овако груписан:

Први заграде имају заједнички фактор секире ² :

У другом је заједнички фактор 3:

Вежбе

- Вежба 1

Школска зграда има 4 спрата и свака има 12 учионица са 30 столова унутра. Колико радних столова има школа?

Решење

Овај проблем се решава применом асоцијативног својства множења, да видимо:

Укупан број столова = 4 спрата к 12 учионица / под к 30 столова / учионица = (4 к 12) к 30 столова = 48 к 30 = 1440 столова.

Или ако желите: 4 к (12 к 30) = 4 к 360 = 1440 столова

- Вежба 2

С обзиром на полином:

А (к) = 5к ³ + 2к ² -7к + 1

Б (к) = к ⁴ + 6к ³ -5к

Ц (к) = -8к ² + 3к -7

Примените додавање асоцијативног својства да бисте пронашли А (к) + Б (к) + Ц (к).

Решење

Можете груписати прва два и додати трећу у резултат:

А (к) + Б (к) = + = к ⁴ + 11к ³ + 2к ² -12к +1

Одмах се додаје полином Ц (к):

+ = к ⁴ + 11к ³ - 6к ² -9к -6

Читалац може да потврди да је резултат идентичан ако се решава опцијом А (к) +.

Референце

1. Јименез, Р. 2008. Алгебра. Прентице Халл.
2. Математика је забава, закони о комутацији, асоцијативности и дистрибуцији. Опоравак од: матхисфун.цом.
3. Матх Варехоусе. Дефиниција асоцијативне имовине. Опоравак од: матхварехоусе.цом.
4. Сциацхинг. Асоцијативно и комутативно својство сабирања и множења (са примерима). Опоравило од: сциацхинг.цом.
5. Википедиа. Асоцијативна имовина. Опоравак од: ен.википедиа.орг.