КОПЛАНАРНЕ ТАЧКЕ: ЈЕДНАЧИНА, ПРИМЕР И РЕШЕНЕ ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

У цопланар тачке припадају истој равни. Две тачке су увек копланарне, јер ове тачке дефинишу линију кроз коју пролазе бесконачне равни. Затим обе тачке припадају свакој од равнина које пролазе кроз линију и зато ће увек бити копланарне.

Са друге стране, три тачке дефинишу једну равнину, из чега следи да ће три тачке увек бити копланарне према равнини коју одређују.

Слика 1. А, Б, Ц и Д су копланарне према (Ω) равнини. Е, Ф и Г нису копланарни према (Ω), већ су копланарни према равнини коју они дефинишу. Извор: Ф. Запата.

Више од три тачке може бити копланарно или не. На пример, на слици 1, тачке А, Б, Ц и Д су копланарне према равнини (Ω). Али Е, Ф и Г нису копланарни са (Ω), иако су копланарни са равнином коју они дефинишу.

Једнаџба равни која даје три тачке

Једнаџба равнине одређена с три познате тачке А, Б, Ц математички је однос који гарантује да било која тачка П са генеричким координатама (к, и, з) која испуњава једначину припада наведеној равнини.

Претходна изјава једнака је изреци да ако П координате (к, и, з) испуњава једначину равнине, тада ће та тачка бити копланарна са три тачке А, Б, Ц које су одредиле равнину.

Да бисмо пронашли једначину ове равни, почнимо с проналажењем вектора АБ и АЦ :

АБ =

АЦ =

Векторски производ АБ Кс АЦ даје вектор окомит или нормалан на равнину одређену тачкама А, Б, Ц.

Било која тачка П са координатама (к, и, з) припада равнини ако је вектор АП окомит на вектор АБ Кс АЦ , што је загарантовано ако:

АП • (АБ Кс АЦ) = 0

То је еквивалентно казивању да је троструки производ АП , АБ и АЦ једнак нули. Горња једначина може се написати у матричном облику:

Пример

Нека су тачке А (0, 1, 2); Б (1,2,3); Ц (7, 2, 1) и Д (а, 0, 1). Какву вредност мора имати да би четири тачке биле копланарне?

Решење

Да би пронашла вредност а, тачка Д мора бити део равни која је одређена А, Б и Ц, а која је загарантована ако задовољава једначину равнине.

Развијајући одредницу имамо:

Претходна једначина нам говори да је а = -1 за испуњавање једнакости. Другим речима, једини начин да тачка Д (а, 0,1) буде копланарна са тачкама А, Б и Ц, а мора бити -1. Иначе неће бити копланарни.

Решене вежбе

- Вежба 1

Равнина пресијеца картезијанске оси Кс, И, З на 1,2, 3. Пресјек ове равнине са осовинама одређује тачке А, Б и Ц. Пронађите компоненту Дз тачке Д, чије су картезијеве компоненте:

Под условом да је Д копланарни са тачкама А, Б и Ц.

Решење

Кад су познати пресретањи равнине картезијанским осовинама, може се користити сегментни облик једначине равнине:

к / 1 + и / 2 + з / 3 = 1

Пошто тачка Д мора да припада претходној равни, мора:

-Дз / 1 + (Дз + 1) / 2 + Дз / 3 = 1

Односно:

-Дз + Дз / 2 + ½ + Дз / 3 = 1

Дз (-1 + ½ + ⅓) = ½

Дз (-1 / 6⅙) = ½

Дз = -3

Из горе наведеног произлази да је тачка Д (3, -2, -3) копланарна са тачкама А (1, 0, 0); Б (0, 2, 0) и Ц (0, 0, 3).

- Вежба 2

Одредите да ли су тачке А (0, 5, 3); Б (0, 6, 4); Ц (2, 4, 2) и Д (2, 3, 1) су копланарни.

Решење

Формирамо матрицу чији су редови координате ДА, БА и ЦА. Затим се израчунава одредница и потврђује се да ли је или не.

Након извршавања свих израчуна, закључује се да су копланарне.

- Вежба 3

Постоје две линије у простору. Једна од њих је линија (Р) чија је параметрична једначина:

А друга је линија (С) чија је једначина:

Покажите да су (Р) и (С) копланарне линије, односно да леже у истој равнини.

Решење

Кренимо од произвољног узимања две тачке на линији (Р) и две на линији (С):

Линија (Р): λ = 0; А (1, 1, 1) и λ = 1; Б (3, 0, 1)

Нека је к = 0 на линији (С) => и = ½; Ц (0, ½, -1). А с друге стране, ако направимо и = 0 => к = 1; Д (1, 0, -1).

Односно, узели смо тачке А и Б које припадају линији (Р) и тачке Ц и Д које припадају линији (С). Ако су те тачке копланарне, тада ће и две линије бити превише.

Сада као тачку бирамо тачку А, а затим проналазимо координате вектора АБ , АЦ и АД. На овај начин добијате:

Б - А: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => АБ = (2, -1, 0)

Ц - А: (0-1, 1/2 -1, -1 - 1) => АЦ = (-1, -1/2, -2)

Д - А: (1-1, 0 -1, -1 - 1) => АД = (0, -1, -2)

Следећи корак је конструкција и израчунавање детерминанте чији су први ред коефицијенти вектора АБ , други ред су они од АЦ и трећи ред вектора АД :

Пошто се утврђује да је одредница ништавна, онда можемо закључити да су четири тачке копланарне. Поред тога, може се рећи да су линије (Р) и (С) такође копланарне.

- Вежба 4

Линије (Р) и (С) су копланарне, као што је показано у вежби 3. Пронађите једначину равнине која их садржи.

Решење

Тачке А, Б, Ц потпуно одређују ту равнину, али желимо наметнути да јој тачка Кс координата (к, и, з) припада.

Да би Кс припадао равнини дефинисаној са А, Б, Ц и у којој се налазе линије (Р) и (С), неопходно је да одредница која је у првом реду формирана компонентама АКС , у другом реду од АБ и у трећем од АЦ :

Након овог резултата, групирамо се на овај начин:

2 (к-1) + 4 (и-1) -2 (з-1) = 0

И одмах видите да се може овако преписати:

к - 1 + 2и - 2 - з + 1 = 0

Стога је к + 2и - з = 2 једначина равнине која садржи правце (Р) и (С).

Референце

1. Флеминг, В. 1989. Прекалкулусна математика. Прентице Халл ПТР.
2. Колман, Б. 2006. Линеарна алгебра. Пеарсон Едуцатион.
3. Леал, ЈМ 2005. Равна аналитичка геометрија. Мерида - Венецуела: Уредништво Венезолана ЦА
4. Наварро, Роцио. Вектори. Опоравак од: боокс.гоогле.цо.ве.
5. Перез, ЦД 2006. Предрачун. Пеарсон Едуцатион.
6. Преновитз, В. 2012. Основни појмови геометрије. Ровман & Литтлефиелд.
7. Сулливан, М. 1997. Прекалкулус. Пеарсон Едуцатион.