ШТА СУ ТРИГОНОМЕТРИЈСКЕ ГРАНИЦЕ? (ВЕЖБЕ РЕШЕНЕ) - МАТХС - 2025

У тригонометријских границе су границе функција тако да су ове функције формираним од тригонометријских функција.

Постоје две дефиниције које се морају знати како би се разумело како израчунати тригонометријску границу.

Ове дефиниције су:

- Граница функције «ф» када је «к» склон «б»: састоји се од израчунавања вредности до које се ф (к) приближава «к», а не досеже «б» ».

- Тригонометријске функције: тригонометријске функције су синусна, косинусна и тангенцијална функција, означене са син (к), цос (к) и тан (к).

Остале тригонометријске функције добијају се из горе поменуте три функције.

Ограничења функција

Да бисмо разјаснили концепт ограничења функције, наставићемо да приказујемо неке примере са једноставним функцијама.

- Граница ф (к) = 3 када је "к" тежи "8" једнака је "3", пошто је функција увек константна. Без обзира колико вреди "к", вредност ф (к) ће увек бити "3".

- Граница ф (к) = к-2 када је "к" тежи "6" је "4". Од када се „к“ приближава „6“, онда „к-2“ прилази „6-2 = 4“.

- Граница г (к) = к² када "к" тежи "3" једнака је 9, јер када се "к" приближава "3", тада се "к²" приближава "3² = 9" .

Као што се може видети у претходним примерима, израчунавање лимита састоји се од процене вредности до које „к“ тежи у функцији, а резултат ће бити вредност ограничења, мада то важи само за континуиране функције.

Постоје ли компликованија ограничења?

Одговор је да. Горњи примери су најједноставнији примери ограничења. У књигама с рачунима, главне вежбе ограничења су оне које генеришу неодређеност типа 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 и (∞) ^ 0.

Ови изрази се називају неодређеношћу, јер су изрази који немају смисла математички.

Поред тога, у зависности од функција укључених у првобитно ограничење, резултат добијен решавањем неодређености може бити различит у сваком случају.

Примери једноставних тригонометријских граница

Да бисте решили ограничења, увек је веома корисно знати графиконе укључених функција. Графикони функција синуса, косинуса и тангента приказани су испод.

Неки примери једноставних тригонометријских ограничења су:

- Израчунајте границу греха (к) када је «к» склон «0».

Када се погледа граф може се видети да ако се "к" приближи "0" (и са леве и са десне стране), тада се синусни граф такође приближава "0". Према томе, граница греха (к) када "к" тежи ка "0" је "0".

- Израчунајте границу цос (к) када је «к» тежи «0».

Посматрајући граф косинуса, види се да када је „к“ близу „0“, онда је и графикон косинуса близу „1“. То имплицира да је граница цос (к) када "к" тежи до "0" једнака "1".

Ограничење може постојати (бити број), као у претходним примерима, али може се догодити и да не постоји као што је приказано у следећем примеру.

- Граница тан (к) када се "к" своди на "Π / 2" са леве стране једнака је "+ ∞", као што се може видети на графу. Са друге стране, граница тан (к) када „к“ стреми „-Π / 2“ са десне стране, једнака је „-∞“.

Тригонометријска ограничења идентитета

Два веома корисна идентитета приликом израчунавања тригонометријских граница су:

- Граница «син (к) / к» када је «к» тежи до «0», једнака је «1».

- Граница «(1-цос (к)) / к» када је «к» тежи до «0», једнака је «0».

Ови се идентитети користе веома често када имате неку неодређеност.

Решене вежбе

Решите за следећа ограничења користећи претходно описане идентитете.

- Израчунајте границу «ф (к) = син (3к) / к» када је «к» склон «0».

Ако се функција "ф" процењује на "0", добиће се неодређеност типа 0/0. Стога ову неодређеност морамо покушати ријешити користећи описане идентитете.

Једина разлика између ове границе и идентитета је број 3 који се појављује у синусној функцији. Да би се применио идентитет, функција «ф (к)» мора бити преписана на следећи начин «3 * (син (3к) / 3к)». Сада су и сине аргумент и називник једнаки.

Дакле, када је „к“ склон „0“, коришћење идентитета даје „3 * 1 = 3“. Стога је граница ф (к) када „к“ тежи „0“ једнака „3“.

- Израчунајте границу од «г (к) = 1 / к - цос (к) / к» када је «к» тежи «0».

Када је „к = 0“ супституисан у г (к), добија се неодређеност типа ∞-∞. Да би се решили, фракције се најпре одузимају, што даје „(1-цос (к)) / к“.

Сада, примењујући други тригонометријски идентитет, имамо да је граница г (к) када «к» тежи до «0», једнака 0.

- Израчунајте границу од «х (к) = 4тан (5к) / 5к» када је «к» тежи «0».

Поново, ако је х (к) процењен на "0", добиће се неодређеност типа 0/0.

Преписивање као (5к) као син (5к) / цос (5к) резултира х (к) = (син (5к) / 5к) * (4 / цос (к)).

Користећи то да је граница 4 / цос (к) када „к“ тежи „0“ једнака „4/1 = 4“ и добије се први тригонометријски идентитет да је граница х (к) када „к“ тежи а "0" је једнак "1 * 4 = 4".

Посматрање

Тригонометријске границе није увек лако решити. У овом су чланку приказани само основни примјери.

Референце

1. Флеминг, В., Варберг, ДЕ (1989). Прекалцулус Матхематицс. Прентице Халл ПТР.
2. Флеминг, В., Варберг, ДЕ (1989). Прекалкулусна математика: приступ решавању проблема (2, Илустровано изд.). Мицхиган: Прентице Халл.
3. Флеминг, В., Варберг, Д. (1991). Алгебра и тригонометрија са аналитичком геометријом. Пеарсон Едуцатион.
4. Ларсон, Р. (2010). Прекалкулус (8 ед.). Ценгаге Леарнинг.
5. Леал, ЈМ, & Вилориа, НГ (2005). Равна аналитичка геометрија. Мерида - Венецуела: Уредништво Венезолана ЦА
6. Перез, ЦД (2006). Прекалкулација. Пеарсон Едуцатион.
7. Пурцелл, ЕЈ, Варберг, Д. и Ригдон, СЕ (2007). Израчун (Девето издање). Прентице Халл.
8. Саенз, Ј. (2005). Диференцијални рачун с раним трансцендентним функцијама за науку и инжењерство (друго издање, ед.). Хипотенусе.
9. Сцотт, Калифорнија (2009). Картезијанска геометрија равни, део: Аналитички коники (1907) (репринт ед.). Извор муње.
10. Сулливан, М. (1997). Прекалкулација. Пеарсон Едуцатион.