СЕРИЈА СНАГА: ПРИМЕРИ И ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

Серија снага састоји се од сумирања појмова у облику моћи променљиве к, или опћенито, кц, где је ц константни реални број. У збирном запису, низ овлашћења се изражава на следећи начин:

Тамо где су коефицијенти а _о , а, ₁ , ₂ … стварни бројеви и низ почиње са н = 0.

Слика 1. Дефиниција серије напајања. Извор: Ф. Запата.

Ова серија је усредсређена на вредност ц која је константна, али можете изабрати да је ц једнак 0, у којем случају се снага снаге поједностављује на:

Серије почињу са _или (кц) ⁰ и а _или к ⁰ . Али то знамо:

(кц) ⁰ = к ⁰ = 1

Стога је _о (кц) ⁰ = а _или к ⁰ = а _о (независан појам)

Добра ствар код снага серије је та што се функције могу изразити помоћу њих и то има бројне предности, посебно ако желите да радите са компликованом функцијом.

У том случају, уместо да директно користите функцију, користите њено проширење низа напајања, што је лакше нумерички извести, интегрисати или радити.

Наравно, све је условљено конвергенцијом серија. Серија конвергира када додавањем одређеног великог броја појмова даје фиксну вредност. А ако додамо још речи, настављамо да добијамо ту вредност.

Функционише као Повер Сериес

Као пример функције која се изражава као низ снага, узмимо ф (к) = е ^к .

Ова функција се може изразити низом овлашћења, како слиједи:

и ^х ≈ 1 + к + (х ² /2!) + (к ³ /3!) + (к ⁴ /4!) + (к ⁵ /5!) + …

Где! = н (н-1). (н-2). (н-3)… и треба 0! = 1.

Помоћу калкулатора ћемо проверити да ли се серија заиста подудара са функцијом која је изричито дата. На пример, започнимо са прављењем к = 0.

Знамо да је е ⁰ = 1. Да видимо шта ради серија:

и ⁰ ≈ 1 + 0 + (0 ² /2!): + (0 ³ /3!): + (0 ⁴ /4!): + (0 ⁵ /5!) + … = 1

А сада покушајмо к = 1. Калкулатор враћа тај е ¹ = 2.71828, а затим упоредимо са серијом:

и ¹ ≈ 1 + 1 + (1 ² /2!) + (1- ³ /3!) + (1- ⁴ /4!) + (1- ⁵ /5!) + … = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… ≈ 2.7167

Са само 5 израза већ имамо тачно подударање у е ≈ 2,71. Нашој серији остаје још мало, али како се додаје још термина, серија се сигурно приближава тачној вредности е. Репрезентација је тачна када је н → ∞.

Ако се претходна анализа понови за н = 2, добијају се врло слични резултати.

На овај начин смо сигурни да експоненцијална функција ф (к) = е ^к може бити представљена овим низом моћи:

Слика 2. У овој анимацији можемо видети како се низ снага приближава експоненцијалној функцији како узимају више термина. Извор: Викимедиа Цоммонс.

Геометријски низ моћи

Функција ф (к) = е ^к није једина функција која подржава представљање низа снага. На пример, функција ф (к) = 1/1 - к доста личи на добро познати конвергентни геометријски низ:

Довољно је направити а = 1 и р = к да би се добио низ погодан за ову функцију, који је центриран на ц = 0:

Међутим, познато је да је овај низ конвергентан за │р│ <1, па је репрезентација валидна само у интервалу (-1,1), мада функција важи за све к, осим к = 1.

Кад желите да дефинишете ову функцију у другом распону, једноставно се фокусирате на погодну вредност и готови сте.

Како пронаћи серијску експанзију овласти функције

Било која функција може се развити у низу моћи усредсређеним на ц, све док има деривате свих налога у к = ц. Поступак користи следећу теорему, која се назива Таилорова теорема:

Нека је ф (к) функција са дериватима реда н, означеним као ф ^(н) , што омогућава серијско ширење моћи на интервалу И. Његов серијски развој Таилора је:

Тако да:

Где се Р _н , који је пети термин у низу, назива остатак:

Када је ц = 0, серија се зове Мацлауринова серија.

Ова овде дата серија идентична је низу даним на почетку, само сада имамо начин да експлицитно пронађемо коефицијенте сваког појма, дати од:

Међутим, морамо осигурати да се серија конвергира у функцију која ће бити представљена. Дешава се да се не свака Таилорова серија нужно конвертује у ф (к) који је имао на уму приликом израчуна коефицијената на _н .

То се дешава зато што се можда деривати функције, процењени на к = ц, подударају са истом вредношћу деривата другог, такође на к = ц. У овом случају би коефицијенти били исти, али развој би био двосмислен, јер није сигурно којој функцији одговара.

Срећом постоји начин да се сазна:

Критеријум конвергенције

Да би се избегла нејасноћа, ако је Р _н → 0 као н → ∞ за све к у интервалу И, серија се конвергира у ф (к).

Вежбајте

- Вежба решена 1

Пронађите низ геометријских снага за функцију ф (к) = 1/2 - к центрирана на ц = 0.

Решење

Задата функција мора бити изражена на начин да се што поклапа са 1/1 к, чији је низ познат. Дакле, преиспитајмо бројник и називник, не мењајући оригинални израз:

1/2 - к = (1/2) /

Пошто је ½ константа, настаје из сумирања, а пише се новом променљивом к / 2:

Имајте на уму да к = 2 не припада домени функције, а према критерију конвергенције датом у одељку Геометријска снага серије, проширење важи за │к / 2│ <1 или еквивалентно -2 <к <2.

- Вежба решена 2

Пронађите првих 5 термина Мацлауринове серије проширења функције ф (к) = син к.

Решење

Корак 1

Прво су деривати:

-Додвод реда 0: то је иста функција ф (к) = син к

-Прва изведеница: (син к) ′ = цос к

-Друга изведеница: (син к) ´´ = (цос к) ´ = - син к

-Трећа деривација: (син к) ´´´ = (-сен к) ´ = - цос к

-Четврта изведеница: (син к) ´´´´ = (- цос к) ´ = син к

Корак 2

Тада се сваки дериват процењује на к = ц, као што је и Мацлауринова експанзија, ц = 0:

син 0 = 0; цос 0 = 1; - син 0 = 0; -цос 0 = -1; син 0 = 0

3. корак

_{Изграђени су} коефицијенти а _н ;

а _о = 0/0! = 0; а ₁ = 1/1! = 1; а ₂ = 0/2! = 0; а ₃ = -1 / 3 !; а ₄ = 0/4! = 0

4. корак

Коначно се серија саставља у складу са:

син к ≈ 0.к ⁰ + 1. к ¹ + 0. .к ² - (1/3!) к ³ + 0.к ⁴ … = к - (1/3!)) к ³ +…

Да ли је читаоцу потребно више термина? Колико их је, серија је ближа функцији.

Имајте на уму да у коефицијентима постоји образац, следећи не-нулта израз је _5, а сви они са непарним индексом такође су различити од 0, наизменичним знаковима, тако да:

син к ≈ к - (1/3!)) к ³ + (1/5!)) к ⁵ - (1/7!)) к ⁷ +….

Као вежба може се проверити да ли се конвертује, квоцијентни критеријум се може користити за конвергенцију серија.

Референце

1. Фондација ЦК-12. Серија снаге: репрезентација функција и операција. Опоравак од: цк12.орг.
2. Енглер, А. 2019. Интегрални рачун. Национални универзитет Литорал.
3. Ларсон, Р. 2010. Прорачун променљиве. 9тх. Едитион. МцГрав Хилл.
4. Математика Бесплатни текстови. Серија напајања. Опоравак са: матх.лиибретектс.орг.
5. Википедиа. Серија напајања. Опоравак од: ес.википедиа.орг.