АКСИЈАЛНА СИМЕТРИЈА: СВОЈСТВА, ПРИМЕРИ И ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

Осно симетрија је када тачке фигуре поклапају са тачкама друге фигуре по правој симетрала зове осу симетрије. Назива се и радијална, ротациона или цилиндрична симетрија.

Обично се примењује на геометријским фигурама, али је по природи лако уочљива, будући да постоје животиње попут лептира, шкорпиона, бубамара или људи које имају аксијалну симетрију.

Аксијална симетрија изложена је на овој фотографији обриса града Торонта и њеном одразу у води. (Извор: пикабаи)

Како пронаћи аксијално симетрично

Да би се пронашла аксијална симетрија П 'тачке П у односу на линију (Л), изводе се следеће геометријске операције:

1.- Окомица на линију (Л) која пролази кроз тачку П.

2.- Пресретање двеју линија одређује тачку О.

3.- Измери се дужина сегмента ПО, а затим се та дужина копира на линију (ПО) почевши од О у смеру од П до О, одређујући тачку П '.

4. - Тачка П 'је осна симетрична тачка П у односу на ос (Л), будући да је линија (Л) бисектор сегмента ПП', која је О средина поменутог сегмента.

Слика 1. Две тачке П и П 'су аксијално симетричне према оси (Л) ако је наведена осовина бисектор сегмента ПП'

Својства аксијалне симетрије

- Аксијална симетрија је изометријска, односно задржавају се растојања геометријске фигуре и одговарајућа симетрија.

- Мера угла и његова симетричност су једнаки.

- Аксијална симетрија тачке на оси симетрије је сама тачка.

- Симетрична линија линије паралелне са осе симетрије такође је линија паралелна са поменутом осовином.

- Секантна линија до оси симетрије има као симетрична линија још једну секантну линију која заузврат пресеца ос симетрије у истој тачки на оригиналној линији.

- Симетрична слика линије је друга линија која формира угао са осом симетрије исте мере као онај оригиналне линије.

- Симетрична слика правца окомито на ос симетрије је друга линија која се преклапа са првом.

- Линија и њена аксијална симетрична линија формирају угао чији је бисектор оси симетрије.

Слика 2. Аксијална симетрија чува удаљености и углове.

Примери аксијалне симетрије

Природа показује обилне примере аксијалне симетрије. На пример, можете видети симетрију лица, инсеката попут лептира, одраз мирних водених површина и огледала или лишћа биљака, између многих других.

Слика 3. Овај лептир показује скоро савршену аксијалну симетрију. (Извор: пикабаи)

Слика 4. Лице ове девојке има аксијалну симетрију. (Извор: пикабаи)

Вежбе аксијалне симетрије

Вежба 1

Имамо троугао врхова А, Б и Ц чије су картезијеве координате респективно А = (2, 5), Б = (1, 1) и Ц = (3,3). Пронађите картезијанске координате троугла симетричних око осе И (ординатна ос).

Решење: Ако тачка П има координате (к, и), тада је њена симетрична око ординатне оси (ос И) П '= (- к, и). Другим речима, вредност његовог апсцес се мења, док вредност ордината остаје иста.

У овом случају, симетрични троугао са врховима А ', Б' и Ц 'имаће координате:

А '= (- 2, 5); Б '= (- 1, 1) и Ц' = (- 3, 3) као што се може видети на слици 6.

Слика 6. Ако тачка има координате (к, и), њена симетрична у односу на ос И (ординатна ос) имаће координате (-к, и).

Вежба 2

Позивајући се на троугао АБЦ и његов симетрични А'Б'Ц 'из вежбе 1, проверите да ли одговарајуће стране оригиналног троугла и његове симетричне имају исту дужину.

Рјешење: Да бисмо пронашли удаљеност или дужину страна, користимо еуклидску формулу растојања:

д (А, Б) = √ ((Бк - Ак) ^ 2 + (Би - Аи) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1 ) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

Дужина одговарајуће симетричне стране А'Б 'израчунава се испод:

д (А ', Б') = √ ((Бк'-Ак ') ^ 2 + (Би'-Аи') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2 ) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

На овај начин се верификује да аксијална симетрија чува удаљеност између две тачке. Поступак се може поновити за друге две стране троугла и његову симетричност да се провери инваријантност у дужини. На пример -АЦ- = -А'Ц'- = √5 = 2,236.

Вежба 3

У односу на троугао АБЦ и његов симетрични А'Б'Ц 'из вежбе 1, проверите да ли одговарајући углови првобитног троугла и његове симетричне мере имају једнаку меру угла.

Решење: Да би се одредило мјере углова БАЦ и Б'А'Ц ", прво ћемо израчунати скаларни производ вектора АБ са АЦ и онда је скаларни производ А'Б ' с А'Ц' .

Сећајући се тога:

А = (2, 5), Б = (1, 1) и Ц = (3,3)

А '= (- 2, 5); Б '= (- 1, 1) и Ц' = (- 3, 3).

Има:

АБ = <1-2, 1-5> и АЦ = <3-2, 3-5>

слично

А'Б ' = <-1 + 2, 1-5> и АЦ = <-3 + 2, 3-5>

Затим се проналазе следећи скаларни производи:

АБ⋅АЦ = <-1, -4> ⋅ <1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Слично томе

А'Б'⋅А'Ц ' = <1, -4> ⋅ <-1, -2> = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Мера угла БАЦ је:

∡БАЦ = АрцЦос ( АБ⋅АЦ / (- АБ- ⋅- АЦ- )) =

АрцЦос (7 / (4,123-2236)) = 40,6º

Слично томе, мера угла Б'А'Ц 'је:

∡Б'А'Ц '= арццос ( А'Б'⋅А'Ц' / (- А'Б'- ⋅- А'Ц'- )) =

АрцЦос (7 / (4,123-2236)) = 40,6º

Закључујући да аксијална симетрија чува меру углова.

Вежба 4

Нека је тачка П координата (а, б). Пронађите координате његове аксијалне симетрије П 'у односу на линију и = к.

Решење: Назваћемо (а ', б') координате симетричне тачке П 'у односу на линију и = к. Средња тачка М сегмента ПП 'има координате ((а + а') / 2, (б + б ') / 2) и такође је на линији и = к, тако да важи следећа једнакост:

а + а '= б + б'

С друге стране, сегмент ПП 'има нагиб -1, јер је окомит на линију и = к са нагибом 1, па важи следећа једнакост:

б - б '= а' -а

Решавајући две претходне једнакости а 'и б', закључује се да:

а '= с тим б' = а.

То јест, с обзиром на тачку П (а, б), њена осна симетрија у односу на линију и = к је П '(б, а).

Референце

1. Арце М., Блазкуез С и други. Трансформације авиона. Опоравак од: едуцутмкли.филес.вордпресс.цом
2. Прорачун ццм. Аксијална симетрија. Опоравак од: Цалцуло.цц
3. Суперпроф. Аксијална симетрија. Опоравак од: суперпроф.ес
4. википедиа. Аксијална симетрија. Опоравак од: ес.википедиа.цом
5. википедиа. Кружна симетрија. Опоравак од: ен.википедиа.цом