Риеманн сум је име дато приближно израчунавање одређеног интеграла, помоћу дискретне суммированиа са ограниченим бројем термина. Уобичајена апликација је апроксимација подручја функција на графу.
Први немачки математичар Георг Фриедрицх Бернхард Риеманн (1826-1866) први је понудио ригорозну дефиницију интегралне функције у датом интервалу. То је дао до знања у чланку објављеном 1854.
Слика 1. Риеманнова сума дефинирана је на функцији ф и на партицији у интервалу. Извор: Фанни Запата.
Риеманнова сума је дефинисана на функцији и = ф (к), при чему к припада затвореном интервалу. На овом интервалу се прави партиција П од н елемената:
П = {к 0 = а, к 1 , к 2 ,…, к н = б}
То значи да је интервал подељен на следећи начин:
к к-1 ≤ т к ≤ к к
На слици 1 графички је приказан Риеманнов зброј функције ф у интервалу на партицији четири подинвервала, сивих правоугаоника.
Зброј представља укупну површину правоугаоника, а резултат те суме бројчано приближава површину испод кривуље ф, између апсциса к = к 0 и к = к 4 .
Наравно, приближавање подручју испод кривуље знатно се побољшава што је број н партиција већи. На тај се начин збир приближава подручју испод кривуље, када је број н партиција тежи бесконачности.
Формуле и својства
Риеманнов зброј функције ф (к) на партицији:
П = {к 0 = а, к 1 , к 2 ,…, к н = б}
Дефинисано током интервала, добија га:
С (П, ф) = ∑ к = 1 н ф (т к ) (к к - к к-1 )
Где је т к вредност у интервалу. У Риеманновој суми обично се користе правилни интервали ширине Δк = (б - а) / н, где су а и б минималне и максималне вредности апсцис, док је н број пододељења.
У том случају права Риеманнова сума је:
Сд (ф, н) = * Δк
Слика 2. Риеманнова десна сума. Извор: Викимедиа Цоммонс. 09гласгов09.
Док је Риеманнова лева сума изражена као:
Ако је (ф, н) = * Δк
Слика 3. Лева Риеманнова сума. Извор: Викимедиа Цоммонс. 09гласгов09
Коначно, централна Риеманнова сума је:
Original text
Сц (ф, н) = * Δк
Слика 4. Средња Риеманнова сума. Извор: Викимедиа Цоммонс. 09гласгов09
У зависности од места где се тачка т к налази у интервалу, Риеманнова сума може преценити или подценити тачну вредност подручја испод кривуље функције и = ф (к). Другим речима, правоугаоници могу да стрше из кривине или да буду мало испод ње.
Подручје испод кривине
Главно својство Риеманнове суме и из које произлази њена важност је да ако се број пододељења тежи ка бесконачности, резултат зброја се своди на тачно интегрални део функције:
Решене вежбе
- Вежба 1
Израчунајте вредност одређеног интеграла између а = -2 до б = +2 функције:
ф (к) = к 2
Искористите Риеманнову своту. Да бисте то учинили, прво пронађите збир за н регуларних партиција интервала, а затим узмите математичку границу за случај да је број партиција тежи бесконачности.
Решење
Ово су следећи кораци:
-Прво, интервал партиције је дефинисан као:
Δк = (б - а) / н
-Тада Риеманнова сума са десне стране која одговара функцији ф (к) изгледа овако:
-А онда се пажљиво супституише у збиру:
- Следећи корак је одвајање збирних података и узимање константних количина као заједничког фактора сваке суме. Потребно је узети у обзир да је индекс и, па се бројеви и изрази са н сматрају константним:
-Свака сума се процењује, јер за сваки од њих постоје одговарајући изрази. На пример, први од сума даје н:
-На крају, интеграл који се израчунава је:
Читалац може да провери да ли је то тачан резултат, који се може добити решавањем неодређеног интегралног дела и проценом граница интеграције Барров-овим правилом.
- Вежба 2
Отприлике одредите површину у функцији:
ф (к) = (1 / √ (2π)) е (-к 2 /2)
Унесите к = -1 и к = + 1, користећи централни Риеманнов зброј са 10 партиција. Упоредите са тачним резултатом и процените проценат разлике.
Решење
Корак или прираштај између две узастопне дискретне вредности је:
Δк = (1 - (-1) / 10 = 0,2
Дакле, партиција П на којој су постављени правоугаоници изгледа овако:
П = {-1.0; -0.8; -0.6; -0.4; -0.2; 0,0; 0,2; 0,4; 0.6; 0,8; 1.0}
Али будући да је оно што се тражи је централни зброј, функција ф (к) ће се процењивати у средњим тачкама подинвервала, то јест у скупу:
Т = {-0.9; -0.7; -0.5; -0.3; -0.1; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9}.
(Централна) Риеманнова сума изгледа овако:
С = ф (-0,9) * 0,2 + ф (-0,7) * 0,2 + ф (-0,5) * 0,2 +… + ф (0,7) * 0,2 + ф (0,9) * 0,2
Пошто је функција ф симетрична, могуће је своту смањити на само 5 чланова, а резултат се множи са два:
С = 2 * 0,2 * {ф (0,1) + ф (0,3) + ф (0,5) + ф (0,7) + ф (0,9)}
С = 2 * 0,2 * {0,397+ 0,381+ 0,352+ 0,312+ 0,266} = 0,683
Функција дата у овом примјеру није ништа друго до добро познато Гауссово звоно (нормализовано, са средњом вриједности једнаком нули и стандардном девијацијом једна). Површина испод кривуље у интервалу за ову функцију зна се да износи 0.6827.
Слика 5. Подручје испод Гауссовог звона апроксимирано Риеманновим збројем. Извор: Ф. Запата.
То значи да приближно решење са само 10 термина одговара тачном решењу на три децимална места. Процентуална грешка између приближне и тачне интеграле износи 0,07%.
Референце
- Цастелеиро, ЈМ, и Гомез-Алварез, РП (2002). Интегрално рачунање (Илустровано изд.). Мадрид: Уредништво ЕСИЦ-а.
- Уницан. Историја концепта интеграл. Опоравак од: репоситорио.уницан.ес
- УИС. Риеманн сумира. Опоравак од: математицас.уис.еду.цо
- Википедиа. Риеманн сума. Опоравак од: ес.википедиа.цом
- Википедиа. Риеманнова интеграција. Опоравак од: ес.википедиа.цом