ТЕЛЕСКОПСКО СУМИРАЊЕ: КАКО СЕ РЕШАВА И КАКО СЕ ВЕЖБЕ РЕШАВАЈУ - МАТХС - 2025

Сума телескопски је филијала нумерички серије. Бави се збрајањем елемената од почетне вредности до „н“ израза чији аргумент поштује било који од следећих образаца:

(Ф _к - Ф _{к + 1} ); (Ф _{к + 1} - Ф _к )

Као и:

Извор: Пикабаи.цом

Они представљају збир елемената који се, када се развију, подвргну отказивању супротних израза. Омогућавањем дефинисања следеће једнакости за телескопске сумације:

Његово име потиче од везе с појавом класичног телескопа који се могао савити и расклопити, приметно мијењајући своју димензију. На исти начин, телескопске сумације, које су бесконачне природе, могу се сумирати у поједностављеном изразу:

Ф ₁ - Ф _{н + 1}

Демонстрација

При развоју сумирања појмова елиминација фактора је сасвим очигледна. Када ће се за сваки од случајева у следећој итерацији појавити супротни елементи.

Као пример ћемо узети први случај (Ф _к - Ф _{к + 1} ), јер процес функционира на хомологан начин за (Ф _{к + 1} –Ф _к ).

Развијањем прве три вредности {1, 2, 3} примећује се тренд поједностављења

Кс ₁ (Ф ₁ - Ф _{1 + 1} ) = Ф ₁ - Ф ₂

Кс ₂ (Ф ₂ - Ф _{2 + 1} ) = Ф ₂ - Ф ₃

Кс ₃ (Ф ₃ - Ф _{3 + 1} ) = Ф ₃ - Ф ₄

Где када изражавате суму описаних елемената:

Кс ₁ + Кс ₂ + Кс ₃ = Ф ₁ - Ф ₂ + Ф ₂ - Ф ₃ + Ф ₃ - Ф ₄

Примећује се да термини Ф ₂ и Ф ₃ су описани заједно са својим супротним, што чини њихово поједностављење неизбежно. На исти начин се примећује да су изрази Ф ₁ и Ф ₄ одржани.

Ако је сума направљена од к = 1 до к = 3, то значи да елемент Ф ₄ одговара генеричком појму Ф _{н + 1.}

Тако демонстрирајући једнакост:

Како се то решава?

Сврха телескопских резимеа је олакшати рад тако да није неопходно развијати бесконачан број термина или поједноставити неки ланац додатака који је предуг.

За његову резолуцију биће потребно само проценити изразе Ф ₁ и Ф _{н + 1} . Ове једноставне супституције чине крајњи резултат сумирања.

Укупност израза неће бити изражена и постаје неопходна само за демонстрацију резултата, али не и за нормалан процес израчуна.

Важно је приметити конвергенцију бројевних серија. Понекад аргумент сумирања неће бити изражен телескопски. У овим случајевима примена алтернативних метода факторинга веома је честа.

Карактеристична метода факторизације у телескопским додавањима је она једноставних фракција. То се дешава када се оригинална фракција распадне у збир од неколико фракција, где се може видети телескопски узорак (Ф _к - Ф _{к + 1} ) или (Ф _{к + 1} - Ф _к ).

Декомпозиција у једноставне фракције

Да би се верификовала конвергенција нумеричких серија, врло је често трансформисати рационалне изразе методом једноставног фракције. Циљ је да се заплет обликује у телескопски сажетак.

На пример, следећа једнакост представља декомпозицију на једноставне фракције:

Приликом развоја бројевних серија и примене одговарајућих својстава, израз добија следећи облик:

Тамо где се телескопски облик цени (Ф _к - Ф _{к + 1} ).

Поступак је прилично интуитиван и састоји се од проналажења вредности бројача које нам, без нарушавања једнакости, омогућавају да одвојимо производе који се налазе у називнику. Једнаџбе које настају при одређивању тих вредности постављају се према упоређивању обе стране једнакости.

Овај поступак се посматра корак по корак у развоју вежбе 2.

Историја

Сасвим је несигурно бити у стању да дефинише историјски тренутак у коме су представљени телескопски сажеци. Међутим, његова примена почиње да се види у седамнаестом веку, у студијама нумеричких серија које су спровели Леибниз и Хуигенс.

Оба математичара, истражујући збрајање троугластих бројева, почињу примећивати трендове конвергенције одређених серија узастопних елемената. Али још је занимљивији почетак моделирања тих израза, у елементима који не морају нужно један за другим.

У ствари, раније коришћени израз за означавање једноставних фракција:

Унео га је Хуигенс и одмах привукао Леибниз-ову пажњу. Ко је током времена могао да опази конвергенцију у вредност 2. Не знајући за то, имплементирао је телескопски формат сумирања.

Вежбе

Вежба 1

Дефинишите у који се термин конвертира следећа сума:

При ручном развијању суме се примећује следећи образац:

(2 ³ - 2 ⁴ ) + (2 ⁴ - 2 ⁵ ) + (2 ⁵ - 2 ⁶ ). . . . (2 ¹⁰ - 2 ¹¹ )

Тамо где фактори од 2 ⁴ до 2 ¹⁰ представљају позитивне и негативне делове, што чини њихово отказивање очигледним. Тада ће једини фактори који неће бити поједностављени бити први „2 ³ “ и последњи „2 ¹¹ “.

На овај начин, приликом примене мерила телескопске суме, добија се следеће:

Вежба 2

Трансформишите аргумент у телескопску суму типа и дефинишите конвергенцију низа:

Као што је наведено у изјави, прво што треба учинити је декомпоновати се на једноставне фракције, како би се аргумент поново покренуо и на телескопски начин изразио.

Морате пронаћи 2 фракције чији су називници респективно "н" и "н + 1", при чему доленаведена метода мора добити вредности бројача које задовољавају једнакост.

Прелазимо на дефинисање вредности А и Б. Прво додамо фракције.

Затим се именитељи поједностављују и успоставља се линеарна једначина.

У следећем кораку делује израз са десне стране, све док се не постигне образац упоредив са "3" на левој страни.

Да би се дефинисале једначине које се користе, морају се упоредити резултати обе стране једнакости. Другим речима, на левој страни се не примећују вредности променљиве н, на тај начин А + Б ће морати да буде једнак нули.

А + Б = 0; А = -Б

Са друге стране, константна вредност А мораће бити једнака константној вредности 3.

А = 3

Тако.

А = 3 и Б = -3

Једном када су вриједности бројника за једноставне фракције већ дефиниране, збрајање се рестартује.

Тамо где је генерички облик телескопског сумирања већ постигнут. Развијена је телескопска серија.

Тамо где се дељењем са веома великим бројем резултат приближава и приближава нули, посматрајући конвергенцију низа у вредност 3.

Ову врсту серија није било могуће решити ни на који други начин, због бесконачног броја итерација које дефинишу проблем. Међутим, ова метода, заједно са многим другим, уоквирује грану проучавања нумеричких серија чији је циљ утврђивање вредности конвергенције или дефинисање дивергенције поменутих серија.

Референце

1. Часови бесконачног рачунања. Мануел Францо, Мануел Францо Ницолас, Францисцо Мартинез Гонзалез, Рокуе Молина Легаз. ЕДИТУМ, 1994.
2. Интегрални рачун: секвенце и низ функција. Антонио Ривера Фигуероа. Групо уредништво Патриа, 21. октобра. 2014.
3. Курс из рачунице и стварне анализе. Судхир Р. Гхорпаде, Балмохан В. Лимаие. Спрингер Сциенце & Бусинесс Медиа, 5. јуна 2006.
4. Бесконачна серија. Томлинсон Форт. Тхе Цларендон Пресс, 1930.
5. Елементи теорије бесконачних процеса. Ллоид Лерои Смаил. МцГрав-Хилл Боок Цомпани, Инцорпоратед, 1923.