Греен 'с теорема је метод калкулација служи за повезивање линија интеграли двоструким интеграла или површине. Укључене функције морају бити означене као векторска поља и дефинисане унутар путање Ц.
На пример, линијски интегрални израз може бити веома тешко решити; међутим, применом Греенове теореме, двоструки интеграли постају сасвим основни. Увек је важно поштовати позитиван смер путање, ово се односи на смер супротном од казаљке на сату.
Греенова теорема је посебан случај Стокесове теореме, где се пројекција векторске функције врши у равнини ки.
Дефиниција
Израз Греенове теореме је следећи:
Први израз приказује линију која је дефинисана путањом "Ц" скаларног продукта између векторске функције "Ф" и вектора "р".
Ц: То је дефинисана путања на којој ће се пројектовати векторска функција све док је дефинисана за ту равнину.
Ф: Векторска функција, где је свака њена компонента дефинисана функцијом као таквом (ф, г).
р: Векторска тангенција на регион Р над којом је дефинисан интеграл. У овом случају радимо с диференцијалом овог вектора.
У другом термину видимо да је Греенов теорем развијен, где је двоструки интеграл дефинисан у области Р разлике парцијалних деривата г и ф у односу на к и и респективно. Диференцијалом подручја који није ништа друго до производ обостраних дводимензионалних диференцијала (дк.ди).
Ова теорема је савршено применљива за свемирске и површинске интеграле.
Демонстрација
Да бисмо доказали Греенову теорему на једноставан начин, овај задатак ће бити подељен на 2 дела. Пре свега, претпоставит ћемо да векторска функција Ф има дефиницију само у верзији и. Док ће функција "г" која одговара верзору ј бити једнака нули.
Аутор
Ф = ф (к, и) и + г (к, и) ј = ф (к, и) и + 0
р = к и + и ј
др = дк и + ди ј
Прво развијамо линију интегралну преко пута Ц, за коју је стаза подељена у 2 дела која иду прво од а до б, а затим од б до а.
Дефиниција основног теорема израчуна је примењена за одређени интеграл.
Израз је преуређен у један интеграл, негативан је заједнички фактор, а редослед фактора је обрнут.
Када детаљно посматрамо овај израз, постаје очигледно да смо код примене критеријума примитивне функције у присуству интегралног израза изведеног из ф у односу на и. Евалуирано у параметрима
Сада је довољно претпоставити да је векторска функција Ф дефинисана само за г (к, и) ј . Када се ради на начин сличан претходном случају, добија се следеће:
За крај се узимају два доказа и спајају се у случају када векторска функција узима вредности за оба версора. На овај начин је приказано како се линијски интеграл након што је дефинисан и сматра се једнодимензионалном путањом може у потпуности развити за равнину и простор.
Ф = ф (к, и) и + г (к, и) ј
На овај начин се доказује Греенова теорема.
Апликације
Примена Греенове теореме широка је у гранама физике и математике. Оне се проширују на било коју апликацију или употребу која се може дати линијској интеграцији.
Механички рад који изводи сила Ф кроз путању Ц може се развити линијским интегралом који је Грееновим теоремом изражен као двоструки интеграл површине.
Тренуци инерције многих тела изложених спољним силама у различитим тачкама примене такође одговарају на линијске интеграле који се могу развити Грееновим теоремом.
Ово има вишеструке функционалности у студијама отпорности материјала који се користе. Где се спољне вредности могу квантификовати и узети у обзир пре развоја различитих елемената.
Генерално, Греенова теорема олакшава разумевање и дефинисање области у којима су векторске функције дефинисане у односу на регион дуж путање.
Историја
Објављено је 1828. године у раду „Математичка анализа теоријама струје и магнетизма“, који је написао британски математичар Георге Греен. У њему су истражени прилично одлучујући одељци у примени израчуна у физици, као што су концепт потенцијалних функција, Греен-ове функције и примене његове самоименоване теореме.
Џорџ Грин озваничио је своју студентску каријеру у 40. години живота, до сада потпуно математичар самоук. Након студија на Универзитету у Цамбридгеу, наставио је са својим истраживањима, дајући допринос у акустици, оптики и хидродинамици који важе и данас.
Однос са другим теоремама
Греенова теорема је посебан случај и произлази из две друге веома важне теореме из подручја прорачуна. То су теорема Келвин-Стокес и дивергенција или Гаусс Остроградски теорема.
Полазећи од било које од двије теореме, може се доћи до Греенове теореме. Одређене дефиниције и приједлози су неопходни за развијање таквих доказа.
Вежбе
- Следећа вежба показује како трансформисати линијски интеграл у двоструки интеграл у односу на регион Р.
Оригинални израз је следећи:
Одакле су преузете одговарајуће функције аф и г
ф (к, и) = к 3 г (к, и) = ик
дф / ди = 0 дг / дк = и
Не постоји једини начин да се дефинишу границе интеграције приликом примене Греенове теореме. Али постоје начини где интеграли после дефинисања могу бити једноставнији. Стога оптимизација граница интеграције заслужује пажњу.
Где приликом решавања интеграла добијамо:
Ова вредност одговара у кубним јединицама региону испод векторске функције и преко троугластог региона дефинисаног са Ц.
У случају линије линије без извођења Греен-ове методе, било би потребно параметризирати функције у сваком одјељку регије. Односно, изведите 3 параметризована интеграла за резолуцију. Ово је довољан доказ ефикасности коју је Роберт Греен својим теоремом донео у рачуници.
Референце
- Увод у механику континуитета. В Мицхаел Лаи, Давид Х. Рубин, Ерхард Кремпл, Давид Рубин Буттервортх-Хеинеманн, 23. јула. 2009
- Мултиваријантни рачун. Јамес Стеварт. Ценгаге Леарнинг, 22. мар 2011
- Неформална историја Греенове теореме и придружене идеје. Јамес Јосепх Цросс. Одељење за математику, Универзитет у Мелбурну, 1975
- Провод топлоте помоћу зелених функција. Кевин Д. Цоле, Јамес В. Бецк, А. Хаји-Схеикх, Бахман Литкоухи. Таилор & Францис, 16. јула 2010
- Примена Греенове теореме за екстремизам линеарних интеграла. Технички информативни центар одбране, 1961