ОСНОВНА ТЕОРИЈА АРИТМЕТИКЕ: ДОКАЗ, АПЛИКАЦИЈЕ, ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

Теорема аритметике држава да било који природан број већи од 1 може се раставити као производ простих бројева - нека се могу поновити - и овај облик је јединствен за тај број, иако је редослед фактора може бити различит.

Подсетимо се да је примарни број п онај који прихвата само себе и 1. као позитивне дељенике. Следећи бројеви су почетни бројеви: 2, 3, 5, 7, 11, 13 и тако даље, пошто постоје бесконачности. Број 1 се не сматра главним делом, јер има само једног делитеља.

Слика 1. Еуклид (лево) је доказао основну теорију аритметике у својој књизи Елементи (350. године пре нове ере), а први потпун доказ дужан је Царлу Ф. Гауссу (1777-1855) (десно). Извор: Викимедиа Цоммонс.

Са своје стране, бројеви који нису у складу са горе наведеним називају се сложени бројеви, као што су 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 … Узмимо за пример број 10 и одмах видимо да се може разградити као продукт 2 и 5:

10 = 2 × 5

И 2 и 5 су, заправо, главни бројеви. Теорема каже да је то могуће за било који број н:

Где су п ₁ , п ₂ , п ₃ … п _р примарни бројеви, а к ₁ , к ₂ , к ₃ ,… к _р су природни бројеви. Дакле, прости бројеви делују као градивни блокови из којих су множењем изграђени природни бројеви.

Доказ основне теоремске аритметике

Започињемо показом да сваки број може бити декомпонован у главне факторе. Допустити је природни број н> 1, прост или сложени.

На пример, ако је н = 2, може се изразити као: 2 = 1 × 2, што је основно. На исти начин наставите са следећим бројевима:

3 = 1 × 3

4 = 2 × 2

5 = 1 × 5

6 = 2 × 3

7 = 1 × 7

8 = 2 × 2 × 2

Настављамо овако, растављајући све природне бројеве све док не стигнемо до броја н -1. Да видимо да ли то можемо учинити са следећим бројем: н.

Ако је н прост, можемо га декомпонирати као н = 1 × н, али претпоставимо да је н композитни и има делилац д, логично мање од н:

1 <д <н

Ако је н / д = п ₁ , а п ₁ примарни број, н је записан као:

н = п ₁ .д

Ако је д прост број, нема више шта да радимо, али ако није, постоји број н ₂ који је дељив од д и мањи од овога: н ₂ <д, па се д може записати као продукт од н ₂ другим основни број п ₂ :

д = п ₂ н ₂

То би приликом замјене изворног броја н дало:

н = п ₁ .п ₂ .н ₂

Сада претпоставимо да н ₂ није ни праван број, а пишемо га као продукт правог броја п ₃ , његовим дељивцем н ₃ , тако да је н ₃ <н ₂ <н ₁ <н:

н ₂ = п ₃ .н ₃ → н = п ₁ п ₂ п ₃ .н ₃

Понављамо овај поступак ограничен број пута док не добијемо:

н = п ₁ .п ₂ .п ₃ … п _р

То значи да је могуће декомпонирати све целе бројеве са 2 на број н, као продукт правих бројева.

Јединственост примарне факторизације

Сада ћемо проверити да је, поред редоследа фактора, ова декомпозиција јединствена. Претпоставимо да се н може написати на два начина:

н = п ₁ .п ₂ .п ₃ … п _р = к _1. к ₂ .к ₃ … ..к _с (са р ≤ с)

Наравно да су к ₁ , к ₂ , к ₃ … такође главни бројеви. Будући да се п ₁ дели (к _1. к ₂ .к ₃ … ..к _с ), тада је п ₁ једнак било којем од “к”, није битно који је, па можемо рећи да је п ₁ = к ₁ . Поделимо н на п ₁ и добит ћемо :

п ₂ .п ₃ … п _р = _. к ₂ .к ₃ … ..к _с

Понављамо поступак док све не поделимо са п _р , а затим добијемо:

1 = к _{р + 1} … к _с

Али није могуће доћи до к _{р + 1} … к _с = 1 када је р <с, само ако је р = с. Иако признајући да је р = с, такође се признаје да су "п" и "к" исти. Стога је распадање јединствено.

Апликације

Као што смо већ рекли, прости бројеви представљају, ако желите, атоме бројева, њихове основне компоненте. Дакле, основна теорија аритметике има бројне примјене, најочитија: радимо с већим бројевима лакше ако их изразимо као производ мањих бројева.

На исти начин можемо пронаћи највећи заједнички множитељ (ЛЦМ) и највећи заједнички раздјелник (ГЦФ), поступак који нам помаже да лакше саставимо фракције, пронађемо коријене великог броја или радимо са радикалима, рационализујемо и ријешимо веома различити проблеми са применом.

Штавише, празни бројеви су изузетно загонетни. Код њих још није препознат образац и није могуће знати који ће бити следећи. Највећи до сада пронађени су рачунари и има 24 862,048 цифара, мада се нови примарни бројеви појављују ређе сваки пут.

Главни бројеви у природи

Цицадас, цицадидоси или цицадас који живе на североистоку Сједињених Држава појављују се у циклусима од 13 или 17 година. Обоје су главни бројеви.

На овај начин се цикаде избјегавају подударати са предаторима или такмичарима који имају другачија раздобља рођења, нити се различите сорте цикада међусобно надмећу, јер се не подударају током исте године.

Слика 2. Магицицада цицада у источним Сједињеним Државама појављује се сваких 13 до 17 година. Извор: Пкфуел.

Главни бројеви и куповина путем интернета

Главни бројеви се користе у криптографији како би се подаци о кредитној картици чували у тајности приликом куповине путем интернета. На овај начин се добија податак да купац тачно стигне до продавнице, а да се не изгуби или падне у руке бескрупулозних људи.

Како? Подаци на картицама су кодирани бројем Н који се може изразити као производ правих бројева. Ови примарни бројеви су кључ који подаци откривају, али јавности нису познати, могу се декодирати само на вебу на који су усмерени.

Декомпонирање броја у факторе је лак задатак ако су бројеви мали (види решене вежбе), али у овом случају се као кључ користе основни бројеви од 100 цифара, који приликом множења дају много веће бројеве, чија детаљна декомпозиција укључује огроман задатак .

Решене вежбе

- Вежба 1

Раздвојите 1029 на главне факторе.

Решење

1029 се дели са 3. Познато је, јер када додајемо своје цифре сума је вишеструка 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12. Како редослед фактора не мења производ, можемо почети тамо:

1029 3

343

1029 = 3 × 343

Са друге стране 343 = 7 ³ , тада:

1029 = 3 × 7 ³ = 3 × 7 × 7 × 7

А пошто су и 3 и 7 прости бројеви, ово је декомпозиција 1029. године.

- Вежба 2

Фактор триномија к ² + 42к + 432.

Решење

Триномал се преписује у облику (к + а). (к + б) и морамо пронаћи вредности а и б, тако да:

а + б = 42; аб = 432

Број 432 се декомпонује у основне факторе и одатле се изабире одговарајућа комбинација покушајем и грешком тако да додани фактори дају 42.

432 = 2 ⁴ × 3 ³ = 2 × 3 ³ × 2 ³ = 2 ⁴ × 3 ² × 3 =…

Одавде постоји неколико могућности за писање 432:

432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72….

И све њих се може пронаћи комбиновањем производа међу главним факторима, али за решавање предложене вежбе, једина погодна комбинација је: 432 = 24 × 18 од 24 + 18 = 42, тада:

к ² + 42к + 432 = (к + 24). (к +18)

Референце

1. Балдор, А. 1986. Теоретска практична аритметика. Цомпаниа Цултурал Едитора де Тектос Америцанос СА
2. ББЦ Ворлд. Скривени код природе. Опоравак од: ббц.цом.
3. Де Леон, Мануел. Приме бројеви: чувари интернета. Опоравак од: блогс.20минутос.ес.
4. УНАМ. Теорија бројева И: Основна теорија аритметике. Опоравак од: теориаденумерос.викидот.цом.
5. Википедиа. Основна теорија аритметике. Опоравак од: ес.википедиа.орг.