ИЗОМЕТРИЈСКЕ ТРАНСФОРМАЦИЈЕ: САСТАВ, ВРСТЕ И ПРИМЕРИ - МАТХС - 2025

У исометриц трансформације су промене положаја или оријентације датог слици која не мењају облик или величину овога. Ове трансформације су класификоване у три врсте: превођење, ротација и рефлексија (изометрија). Генерално, геометријске трансформације омогућавају вам да из дате слике креирате нову фигуру.

Трансформација у геометријску фигуру значи да је на неки начин претрпела одређену промену; то јест, измењено је. Према смислу оригинала и сличном у равнини, геометријске трансформације могу се класификовати у три врсте: изометријске, изоморфне и анаморфне.

карактеристике

Изометријске трансформације настају када се сачувају величине сегмената и углови између оригиналне фигуре и трансформисане фигуре.

У овој врсти трансформације ни облик ни величина фигуре се не мењају (оне су у складу), то је само промена његовог положаја, било у оријентацији или правцу. На овај начин ће почетне и завршне бројке бити сличне и геометријски складне.

Изометрија се односи на једнакост; другим ријечима, геометријске фигуре ће бити изометријске ако имају исти облик и величину.

Код изометријских трансформација једино што се може приметити је промена положаја у равнини, настаје круто кретање захваљујући којем лик прелази из почетног положаја у коначни. Ова се фигура назива хомологном (сличном) оригиналном.

Постоје три врсте покрета који класификују изометријску трансформацију: превод, ротација и рефлексија или симетрија.

Врсте

Превођењем

То су оне изометрије које омогућују помицање свих тачака равнине у правој линији у датом правцу и удаљености.

Када се лик трансформише превођењем, она не мења оријентацију у односу на почетни положај, нити губи своје унутрашње мере, мере својих углова и страна. Ова врста помака је дефинисана са три параметра:

- Један правац, који може бити водоравни, вертикални или коси.

- Један правац, који може бити лево, десно, горе или доле.

- Удаљеност или величина, која је дужина од почетног положаја до краја било које тачке која се креће.

Да би се испунила изометријска трансформација преводом, морају бити испуњени следећи услови:

- Фигура мора увек да задржи све своје димензије, и линеарне и угаоне.

- Слика не мења свој положај у односу на хоризонталну осовину; то јест, његов угао никада не варира.

- Преводи ће се увек сумирати у једном, без обзира на број преведених.

У равнини у којој је средиште тачка О, са координатама (0,0), превод је дефинисан вектором Т (а, б), који означава помицање почетне тачке. Односно:

П (к, и) + Т (а, б) = П '(к + а, и + б)

На пример, ако се на координатну тачку П (8, -2) примени превод Т (-4, 7), добићемо:

П (8, -2) + Т (-4, 7) = П '= П' (4, 5)

На следећој слици (лево) може се видети како се тачка Ц померала да се поклапа са Д. То је учинио у вертикалном смеру, смер је био нагоре, а ЦД са раздаљином или магнитудом 8 метара. На десној слици примећује се превод троугла:

Ротацијом

То су оне изометрије које омогућавају фигури да ротира све тачке равнине. Свака тачка се окреће пратећи лук који има константан угао и одређену фиксну тачку (центар ротације).

Односно, сва ротација ће бити дефинисана центром ротације и углом ротације. Када се фигура трансформише ротацијом, она задржава меру својих углова и страна.

Ротација се одвија у одређеном смеру, позитивна је када је ротација у смеру супротном смеру (у смеру супротном од казаљке на сату) и негативна када је ротација у смеру казаљке на сату.

Ако се тачка (к, и) ротира у односу на порекло - то јест, њено средиште ротације је (0,0) -, под углом од 90 ^или 360, ^или ће координате тачака бити:

У случају да ротација нема средиште у почетку, порекло система координата мора се пренети на ново дато порекло, да би се могла ротирати фигура са пореклом као центром.

На пример, ако је П (-5,2) тачка примењена ротација за 90 ^или , око порекла и позитивно су јој нове координате (-2.5).

Одразом или симетријом

То су оне трансформације које инвертирају тачке и фигуре равнине. Ова инверзија може бити у односу на тачку или може бити и у односу на линију.

Другим речима, у овој врсти трансформације, свака тачка оригиналне фигуре повезана је са другом тачком (сликом) хомологне фигуре, на начин да су тачка и њена слика на истој удаљености од линије која се зове ос симетрије. .

Тако ће леви део фигуре бити одраз десног дела, без промене облика или димензија. Симетрија трансформише лик у други једнак, али у супротном смеру, као што се може видети на следећој слици:

Симетрија је присутна у многим аспектима, као што су неке биљке (сунцокрети), животиње (паун) и природне појаве (пахуље). Људско биће то одражава на његовом лицу, што се сматра фактором лепоте. Одбојност или симетрија могу бити две врсте:

Централна симетрија

То је та трансформација која се догађа у односу на тачку, у којој лик може да промени оријентацију. Свака тачка оригиналне фигуре и њена слика налазе се на истој удаљености од тачке О, зване средиште симетрије. Симетрија је централна када:

- И тачка и њена слика и центар припадају истој линији.

- Ротацијом од 180 ^о у средини добије се број једнак изворном.

- Линије почетне фигуре паралелне су са линијама формиране фигуре.

- Смисао фигуре се не мења, увек ће бити у смеру казаљке на сату.

Састав ротације

Састав два окрета с истим центром резултира у другом завоју, који има исти центар и чија ће амплитуда бити збир амплитуда два заокрета.

Ако средиште завоја има другачије средиште, пресек бисектора два сегмента сличних тачака биће средиште окрета.

Састав симетрије

У овом случају, састав ће зависити од начина наношења:

- Ако се иста симетрија примењује два пута, резултат ће бити идентитет.

- Ако се примене две симетрије у односу на две паралелне осе, резултат ће бити превод, а његово помицање је двоструко веће од удаљености тих осе:

- Ако се примене две симетрије у односу на две осе које се пресијецају у тачки О (центар), добиће се ротација са центром на О и њен угао ће бити двоструко већи од угла формираног од оси:

Референце

1. В Боургеоис, ЈФ (1988). Материјали за израду геометрије. Мадрид: Синтеза.
2. Цесар Цалавера, ИЈ (2013). Техничко цртање ИИ. Паранинфо СА: Издања Куле.
3. Цокетер, Х. (1971). Основе геометрије. Мексико: Лимуса-Вилеи
4. Цокфорд, А. (1971). Геометрија Приступ трансформацији. САД: Лаидлав Бротхерс.
5. Лилиана Синериз, РС (2005). Индукција и формализација у подучавању крутих трансформација у ЦАБРИ окружењу.
6. , ПЈ (1996). Група изометрија авиона. Мадрид: Синтеза.
7. Суарез, АЦ (2010). Трансформације у равнини. Гурабо, Порторико: АМЦТ.