ФОУРИЕРОВА ТРАНСФОРМАЦИЈА: СВОЈСТВА, АПЛИКАЦИЈЕ, ПРИМЕРИ - МАТХС - 2025

Фоуриер-ова трансформација је метод аналитички адекватност оријентисана на интеграбилних функције које припадају породици интегралних трансформација. Састоји се од редефинисања функција ф (т) у смислу Цос (т) и Сен (т).

Тригонометријски идентитети ових функција, заједно са њиховим изведеним и антидеривашким карактеристикама, служе за дефинисање Фоуриерове трансформације путем следеће сложене функције:

Што је тачно све док израз има смисла, односно када је неисправни интеграл конвергентан. Алгебријски се каже да је Фоуриерова трансформација линеарни хомеоморфизам.

Свака функција која се може радити с Фоуриеровом трансформацијом мора бити нулл изван дефинисаног параметра.

Својства

Извор: пекелс

Фоуриерова трансформација испуњава следећа својства:

Постојање

Да би се потврдило постојање Фоуриерове трансформације у функцији ф (т) дефинисаној у стварима Р , морају бити испуњена следећа 2 аксиома:

1. ф (т) је комадно континуиран за све Р
2. ф (т) је интеграбилна у Р

Линеарност Фоуриерове трансформације

Нека су М (т) и Н (т) било које две функције са одређеним Фоуриеровим трансформацијама, са било којим константама а и б.

Ф (з) = а Ф (з) + б Ф (з)

Које такође подржава линеарност истоименог интегралног дела.

Фоуриерова трансформација деривата

Постоји функција ф која је континуирана и интегрирана у све стварне прилике:

А дериват ф (ф ') је непрекидно и делом дефинисан кроз Р

Фоуриерова трансформација деривата је дефинисана интеграцијом по деловима, следећим изразом:

Ф (з) = из Ф (з)

У изведеницама вишег реда примењиваће се на хомологан начин, где за све н 1 имамо:

Ф (з) = (из) ^н Ф (з)

Диференцијација Фоуриерове трансформације

Постоји функција ф која је континуирана и интегрирана у све стварне прилике:

Фоуриерова трансформација превода

За сваки θ који припада скупу С и Т који припада скупу С 'имамо:

Ф = е ^-иаи ФФ = е ^-иак Ф

Са τ ради као оператер превод на вектор а.

Превод Фоуриерове трансформације

За сваки θ који припада скупу С и Т који припада скупу С 'имамо:

τ _а Ф = Ф τ _а Ф = Ф

За све на које припадају Р

Фоуриерова трансформација скале

За све θ које припада скупу С. Т који припада скупу С '

λ који припада Р - {0} имамо:

Ф = (1 / -λ-) Ф ( и / λ )

Ф = (1 / -λ-) Ф (и / λ )

Ако је ф континуирана и јасно интеграбилна функција, где је> 0. Тада:

Ф (з) = (1 / а) Ф (з / а)

Да бисмо показали овај резултат, можемо да наставимо са променом променљиве.

Када је Т → +, тада је с = на → + ∞

Када је Т → - тада с = на → - ∞

Симетрија

Да би се проучила симетрија Фоуриерове трансформације, идентитет Парсевала и Планцхерелове формуле морају бити верификовани.

Имамо θ и δ који припадају С. Одатле се може закључити да:

Добити

1 / (2π) ^д { Ф, Ф } Парсевал идентитет

1 / (2π) ^{д / 2} - Ф - _Л ² _Р ^д Планцхерелова формула

Фоуриерова трансформација производног савијања

Слиједећи сличне циљеве као у Лапласовој трансформацији, савијање функција односи се на производ између њихових Фоуриерових трансформација.

Имамо ф и г као 2 ограничене, дефинисане и потпуно интегриране функције:

Ф (ф * г) = Ф (ф). Ф (г)

Ф (ф). Ф (г) = Ф (ф. Г)

Континуитет и пад у бесконачност

Чему служи Фоуриерова трансформација?

Он служи првенствено за значајно поједностављење једначина, претварајући изведене изразе у елементе моћи, означавајући диференцијалне изразе у облику интеграбилних полинома.

У оптимизацији, модулацији и моделирању резултата делује као стандардизовани израз, што је чест ресурс за инжењеринг након неколико генерација.

Серија Фоуриер

Серије су дефинисане у смислу косинуса и синуса; Они служе да олакшају рад са општим периодним функцијама. Када се примењују, они су део технике решавања обичних и парцијалних диференцијалних једначина.

Фоуриер-ове серије су чак и опћенитије од Таилор-ових серија, јер оне развијају периодичне дисконтинуиране функције које немају Таилор-ове серије.

Остали облици серије Фоуриер

Да бисмо аналитички разумели Фоуриерову трансформацију, важно је преиспитати остале начине на које се може наћи Фоуриерова серија, све док се Фоуриерова серија не може дефинисати у њеној сложеној нотацији.

-Фоуриер серија у функцији периода 2Л

Много је пута потребно прилагодити структуру Фоуриеровог низа периодичним функцијама чији је период п = 2Л> 0 у интервалу.

-Фоуриер серије са непарним и парним функцијама

Разматран је интервал који нуди предности када се искористе симетричне карактеристике функција.

Ако је ф парно, серија Фоуриер се успоставља као низ Козина.

Ако је ф непарно, серија Фоуриер се успоставља као низ Синес.

-Комплексна нота Фоуриер серије

Ако имамо функцију ф (т) која испуњава све захтеве за развојем серије Фоуриер, могуће је означити је у интервалу користећи његову сложену нотацију:

Апликације

Извор: пекелс

Прорачун основног решења

Фоуриерова трансформација је моћан алат за проучавање парцијалних диференцијалних једнаџби линеарног типа са константним коефицијентима. Они подједнако важе за функције са неограниченим доменама.

Попут Лаплацеове трансформације, Фоуриер-ова трансформација трансформира парцијалну дериватну функцију у обичну диференцијалну једначину много једноставнију за руковање.

Кошијев проблем за једнаџбу топлоте представља поље честе примене Фоуриерове трансформације где се ствара језгро топлоте или Дирицхлетова функција нуклеуса.

Што се тиче израчунавања фундаменталног решења, представљени су следећи случајеви где је уобичајено пронаћи Фоуриерову трансформацију:

Теорија сигнала

Општи разлог за примену Фоуриерове трансформације у овој грани у највећој мери је последица карактеристичне декомпозиције сигнала као бесконачне суперпозиције лако обрадивих сигнала.

То може бити звучни талас или електромагнетни талас, Фоуриерова трансформација то изражава суперпозицијом једноставних таласа. Ова заступљеност је прилично честа у електротехници.

Са друге стране су примери примене Фоуриерове трансформације у пољу теоријске сигнале:

Примери

Пример 1

Дефинишите Фоуриерову трансформацију за следећи израз:

Такође га можемо представити на следећи начин:

Ф (т) = Сен (т)

Правоугаони пулс је дефинисан:

п (т) = Х _{(т + к)} - Х _{(т - к)}

Фоуриерова трансформација се примењује на следећи израз који подсећа на теорему модулације.

ф (т) = п (т) Сен (т)

Где: Ф = (1/2) и

А Фоуриерова трансформација је дефинисана са:

Ф = (1/2) и

Пример 2

Дефинишите Фоуриерову трансформацију за израз:

Пошто је ф (х) једнолика функција, то се може констатовати

Интеграција по деловима примењује се одабиром променљивих и њихових разлика на следећи начин

у = син (зх) ду = з цос (зх) дх

дв = х (е ^-х ) ² в = (е ^-х ) ² /2

Замјена коју имате

Након процене према основној теореми израчуна

Примјењујући претходна сазнања о диференцијалним једнаџбама првог реда, израз се означава као

Да бисмо добили К оцењујемо

Коначно, Фоуриерова трансформација израза је дефинисана као

Предложене вежбе

• 

• 

• Добијте трансформацију израза В / (1 + в ² )

Референце

1. Дуоандикоеткеа Зуазо, Ј., Фоуриер анализа. Аддисон - Веслеи Ибероамерицана, Аутономни универзитет у Мадриду, 1995.
2. Лавови, ЈЛ, Математичка анализа и нумеричке методе за науку и технологију. Спрингер - Верлаг, 1990.
3. Лиеб, ЕХ, Гауссова језгра имају само гаусове максимизаторе. Изумети. Матх. 102 , 179-208, 1990.
4. Дим, Х., МцКеан, ХП, Фоуриер Сериес и Интегралс. Ацадемиц Пресс, Нев Иорк, 1972.
5. Сцхвартз, Л., Тхеорие дес Дистрибутионс. Ед Херманн, Париз, 1966.