ЛАПЛАЦЕОВА ТРАНСФОРМАЦИЈА: ДЕФИНИЦИЈА, ИСТОРИЈА И ЧЕМУ СЛУЖИ - МАТХС - 2025

Лапласове трансформације је у последњих неколико година од великог значаја за инжењерске студије, математике, физике, међу другим научним областима, као и да је од великог интереса у теорији, представља једноставан начин за решавање проблема који долазе из наука и инжењерство.

Првобитно је Лаплацеову трансформацију представио Пиерре-Симон Лаплаце у својој студији о теорији вероватноће и у почетку је третиран као математички предмет од чисто теоријског интереса.

Тренутно се примењују када су разни математичари покушали да дају формално оправдање "оперативним правилима" које је Хеависиде користио у истраживању једначина електромагнетне теорије.

Дефиниција

Нека је ф функција дефинисана за т ≥ 0. Лаплацеова трансформација је дефинисана на следећи начин:

Каже се да Лаплацеова трансформација постоји ако се претходни интеграл конвергира, иначе се каже да Лаплацеова трансформација не постоји.

Уопштено, мала слова се користе за означавање функције која се трансформише, а велика слова одговарају њеној трансформацији. На овај начин имаћемо:

Примери

Узмимо у обзир константну функцију ф (т) = 1. Имамо њену трансформацију:

Кад год се интеграл конвергира, то је кад год је с> 0. Иначе, с <0, интеграл се разилази.

Нека је г (т) = т. Лапласову трансформацију даје

Интегришући се деловима и знајући да те ^-ст тежи 0 када т тежи бесконачности и с> 0, заједно са претходним примером имамо:

Трансформација може или не мора постојати, на пример, за функцију ф (т) = 1 / т интеграл који дефинише Лаплацеову трансформацију не конвергира се и зато њена трансформација не постоји.

Довољни услови да гарантују постојање Лаплацеове трансформације функције ф су да је ф комадно континуиран за т ≥ 0 и да је експоненцијалног реда.

Каже се да је функција делно континуирана за т ≥ 0, када за било који интервал са а> 0 постоји коначан број тачака т _к, где ф има дисконтинуитете и непрекидно је у сваком подинвалвату.

С друге стране, за функцију се каже да је експоненцијалног реда ц ако постоје стварне константе М> 0, ц и Т> 0 тако да:

Као примере имамо да је ф (т) = т ² експоненцијалног реда, пошто је -т ² - <е ^3т за све т> 0.

На формални начин имамо следећу теорему

Теорем (Довољни услови за постојање)

Ако је ф део непрекидне функције за т> 0 и експоненцијалног реда ц, тада Лаплацеова трансформација постоји за с> ц.

Важно је нагласити да је ово услов довољности, односно да може постојати функција која не задовољава ове услове, па чак и тада постоји његова Лаплацеова трансформација.

Примјер за то је функција ф (т) = т ^-1/2 која није ^{комадно} континуирана за т ≥ 0, али постоји његова Лаплацеова трансформација.

Лапласова трансформација неких основних функција

Следећа табела приказује Лаплацеове трансформације најчешћих функција.

Историја

Лаплацеова трансформација своје име дугује Пиерре-Симону Лаплацеу, француском математичару и теоретском астроному, који је рођен 1749. године, а умро 1827. Његова слава је била таква да је био познат као Невтон оф Франце.

Године 1744. Леонард Еулер посветио је своје студије интеграцијама са формом

као решења обичних диференцијалних једначина, али он је брзо напустио ову истрагу. Касније је Јосепх Лоуис Лагранге, који се веома дивио Еулеру, такође истраживао ове врсте интеграла и повезао их са теоријом вероватноће.

1782, Лаплаце

1782. Лаплаце је почео проучавати такве интеграле као решења диференцијалних једначина, а према историчарима, 1785. одлучио је да преформулише проблем, што је касније створило Лаплацеове трансформације онако како се разумеју данас.

Након што је уведен у област теорије вероватноће, научници су га у то време мало занимали и доживљавали су га као математички објекат од само теоријског интереса.

Оливер Хеависиде

Средином 19. века енглески инжењер Оливер Хеависиде открио је да се диференцијални оператори могу третирати као алгебарске варијабле, чиме је Лаплаце трансформисао своју модерну примену.

Оливер Хеависиде је енглески физичар, инжењер електротехнике и математичар који је рођен у Лондону 1850. године, а умро 1925. Док је покушавао да реши проблеме диференцијалне једначине примењене на теорију вибрација и користећи Лаплацеове студије, почео је да обликује Савремене примене Лаплацеових трансформација.

Резултати које је Хевисиде представио брзо су се проширили у читавој научној заједници, али како његов рад није био строг, брзо су га критиковали традиционални математичари.

Међутим, корисност Хеависидеова дела у решавању једначина из физике учинила је да његове методе постану популарне код физичара и инжењера.

Упркос овим застојима и после неколико деценија неуспешних покушаја, почетком 20. века могло би се дати строго оправдање оперативним правилима које је дао Хеависиде.

Ови покушаји су уродили плодом захваљујући напорима различитих математичара као што су Бромвицх, Царсон, ван дер Пол, између осталих.

Својства

Међу својствима Лаплацеове трансформације истичу се следећа:

Линеарност

Нека су ц1 и ц2 константе и ф (т) и г (т) функције чији су Лапласови трансформати Ф (с) и Г (с), тада имамо:

Због овог својства, за Лапласову трансформацију се каже да је линеарни оператор.

Пример

Прва теорема превођења

Ако се деси да:

А "а" је било који стварни број, па:

Пример

Пошто је Лапласова трансформација цос (2т) = с / (с ^ 2 + 4) тада:

Друга теорема превођења

да

Тако

Пример

Ако је ф (т) = т ^ 3, тада је Ф (с) = 6 / с ^ 4. И зато трансформација

је Г (с) = 6е ^-2с / с ^ 4

Промена скале

да

А "а" је ствар која није стварна, морамо

Пример

Пошто је трансформација ф (т) = син (т) Ф (с) = 1 / (с ^ 2 + 1) то имамо

Лапласова трансформација деривата

Ако су ф, ф ', ф' ', …, ф ^(н) непрекидне за т ≥ 0 и експоненцијалног су реда, а ф ^(н) (т) је комадно континуиран за т ≥ 0, тада

Лапласова трансформација интеграла

да

Тако

Помножење са т

Ако морамо

Тако

Подела по т

Ако морамо

Тако

Периодичне функције

Нека је ф периодична функција са периодом Т> 0, то јест ф (т + Т) = ф (т)

Понашање Ф (с) као што тежи бесконачности

Ако је ф непрекидан у деловима и експоненцијалног реда и

Тако

Инверзне трансформације

Када применимо Лаплацеову трансформацију на функцију ф (т), добијамо Ф (с), што представља ову трансформацију. На исти начин можемо рећи да је ф (т) инверзна Лапласова трансформација Ф (с) и записује се као

Знамо да су Лапласове трансформације ф (т) = 1 и г (т) = т Ф (с) = 1 / с и Г (с) = 1 / с ² , дакле, имамо

Неке уобичајене инверзне Лапласове трансформације су следеће

Даље, инверзна Лапласова трансформација је линеарна, то јест тачно је

Вежбајте

Пронађи

Да бисмо решили ову вежбу, морамо функцију Ф (с) ускладити са једном из претходне табеле. У овом случају, ако узмемо + 1 = 5 и користећи својство линеарности инверзне трансформације, множимо и делимо са 4! Добити

За другу инверзну трансформацију применимо делимичне фракције да бисмо преписали функцију Ф (с), а затим својство линеарности, добијајући

Као што видимо из ових примера, уобичајено је да се функција Ф (а) која се процењује не подудара са ниједном од функција наведених у табели. За ове случајеве, као што се види, довољно је да напишемо функцију док не постигне одговарајући облик.

Примене Лаплацеове трансформације

Диференцијалне једначине

Главна примена Лапласових трансформација је решавање диференцијалних једначина.

Помоћу својства трансформације деривата јасно је да

И деривата н-1 вреднованих на т = 0.

Ово својство чини трансформацију веома корисном за решавање проблема почетних вредности када су укључене диференцијалне једначине са константним коефицијентима.

Следећи примери показују како се помоћу Лапласове трансформације могу решити диференцијалне једначине.

Пример 1

С обзиром на следећи почетни проблем вредности

Користите Лаплацеову трансформацију да бисте пронашли решење.

На сваки члан диференцијалне једначине примењујемо Лапласову трансформацију

Својством трансформације деривата имамо

Развојем свих израза и рашчлањивањем И које имамо

Коришћењем парцијалних фракција да напишемо десну страну једнаџбе коју смо добили

Коначно, наш циљ је пронаћи функцију и (т) која задовољава диференцијалну једначину. Користећи инверзну Лапласову трансформацију даје нам резултат

Пример 2

Реши

Као и у претходном случају, применимо трансформацију на обе стране једначине и посебан појам појмом.

На овај начин смо добили

Замјена заданим почетним вриједностима и рјешавање за И (с)

Помоћу једноставних фракција можемо поново написати једнаџбу на следећи начин

А применом инверзне Лапласове трансформације даје се резултат

У овим се примерима погрешно може закључити да ова метода није много боља од традиционалних метода за решавање диференцијалних једначина.

Предности Лаплацеове трансформације су у томе што не требате користити варијацију параметара или бринути о различитим случајевима методе неодређеног коефицијента.

Поред тога, приликом решавања проблема почетне вредности овом методом од почетка користимо иницијалне услове, тако да није неопходно обављати друге прорачуне за проналажење одређеног решења.

Системи диференцијалних једначина

Лаплацеова трансформација се такође може користити за проналажење решења за истовремене обичне диференцијалне једначине, као што показује следећи пример.

Пример

Реши

Са почетним условима к (0) = 8 и и (0) = 3.

Ако морамо

Тако

Решење нам даје резултат

И применом инверзне Лапласове трансформације коју имамо

Механика и електрични кругови

Лаплацеова трансформација је од великог значаја у физици, углавном има примену за механику и електричне кругове.

Једноставни електрични круг састоји се од следећих елемената

Прекидач, батерија или извор, индуктор, отпорник и кондензатор. Када се прекидач затвори, ствара се електрична струја која је означена са и (т). Набој на кондензатору означен је са к (т).

По другом закону Кирцххоффа, напон произведен од извора Е у затвореном кругу мора бити једнак збиру сваког пада напона.

Електрична струја и (т) повезана је са набојем к (т) на кондензатору и = дк / дт. С друге стране, пад напона у сваком од елемената је дефинисан на следећи начин:

Пад напона преко отпорника је иР = Р (дк / дт)

Пад напона преко индуктора је Л (ди / дт) = Л (д ² к / дт ² )

Пад напона преко кондензатора је к / Ц

Помоћу ових података и применом Кирцххоффовог другог закона на једноставан затворени круг, добија се диференцијална једначина другог реда која описује систем и омогућава нам да одредимо вредност к (т).

Пример

Индуктор, кондензатор и отпорник повезани су на батерију Е, као што је приказано на слици. Индуктор је 2 хенрија, кондензатор је 0,02 фараса, а отпор је 16 охма. У тренутку т = 0 склоп је затворен. Пронађите пуњење и струју у било којем тренутку т> 0 ако је Е = 300 волти.

Имамо да је диференцијална једначина која описује овај круг следећа

Тамо где су почетни услови к (0) = 0, и (0) = 0 = к '(0).

Применом Лаплацеове трансформације то добијамо

И решавање за К (т)

Затим применом инверзне Лапласове трансформације коју имамо

Референце

1. Г. Холброок, Ј. (1987). Лаплацеова трансформација за инжењере електронике. Лимуса.
2. Руиз, ЛМ, и Хернандез, МП (2006). Диференцијалне једнаџбе и Лаплацеова трансформација помоћу апликација. Редакција УПВ.
3. Симмонс, ГФ (1993). Диференцијалне једначине са апликацијама и историјским напоменама. МцГрав-Хилл.
4. Спиегел, МР (1991). Лаплаце трансформише. МцГрав-Хилл.
5. Зилл, ДГ, и Цуллен, МР (2008). Диференцијалне једначине са проблемима граничне вриједности. Ценгаге Леарнинг Едиторес, СА