ПАРАЛЕЛНИ ВЕКТОРИ: КАРАКТЕРИСТИКЕ, ПРИМЕРИ И ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

У истовремени вектори су вектори групе чији оса поклапа у једном тренутку, формирајући између сваког пара интерног и екстерног другог угла. Јасан пример је приказан на слици испод, где су А, Б и Ц вектори који се паралелно врше.

Д и Е за разлику од осталих нису. Постоје углови формирани између истодобних вектора АБ, АЦ и ЦБ. Они се називају односни углови између вектора.

карактеристике

-Имају заједничку тачку, која се поклапа са њиховим пореклом: све величине истодобних вектора почињу од заједничке тачке до њихових крајева.

-Производ се сматра тачком дејства вектора: мора се успоставити тачка деловања на коју ће директно утицати сваки од истодобних вектора.

-Итс домен у равни и простору је Р ² и Р ³ респективно: истовремене вектори су слободни да покрије цео геометријски простор.

-Омогућава различите ознаке у истој групи вектора. Према гранама студије, у операцијама са векторима присутне су различите нотације.

Врсте вектора

Грана вектора има више пододјела од којих се неке могу именовати: паралелне, окомите, копланарне, одговарајуће, супротне и унитарне. Овде су наведени паралелни вектори, и као и сви горе наведени, имају много примена у различитим наукама.

Они су врло чести у истраживању вектора, јер представљају корисну генерализацију у операцијама са њима. И у равнини и у простору, истодобни вектори се обично користе за представљање различитих елемената и проучавање њиховог утицаја на одређени систем.

Вецтор нотатион

Постоји неколико начина за представљање векторског елемента. Главни и најпознатији су:

Картезијански

Предложен истим математичким приступом, означава векторе са троструком која одговара величинама сваке осе (к, и, з)

А: (1, 1, -1) Простор А: (1, 1) Равнина

Полар

Служе само за означавање вектора у равнини, мада је у интегралном рачуну додељена компонента дубине. Састављен је са линеарном магнитудом р и углом у односу на поларну ос Ɵ.

А: (3, 45 ⁰ ) Равнина А: (2, 45 ⁰ , 3) Простор

Аналитички

Они одређују величине вектора помоћу версореса. Версореси (и + ј + к) представљају јединичне векторе који одговарају оси Кс, И и

А: 3и + 2ј - 3к

Сферно

Сличне су поларној нотацији, али са додатком другог угла који се надвија над ки равнином која је симболизована од δ.

А: (4, 60 ^или , π / 4)

Истодобне векторске операције

Паралелни вектори се углавном користе за дефинисање операција између вектора, јер је лакше упоредити елементе вектора када су истовремено представљени.

Збир (А + Б)

Збир паралелних вектора има за циљ да нађе резултирајући вектор В _р . Што према грани студије одговара завршној радњи

На пример: 3 жице {А, Б, Ц} везане су за оквир, а сваки крај низа држи једна тема. Сваки од 3 субјекта мора повући конопац у другачијем правцу од осталих 2.

А: (ак, аи, аз) Б: (бк, би, бз) Ц: (цк, ци, цз)

А + Б + Ц = (ак + бк + цк; аи + би + ци; аз + бз + цз) = В _р

Кутија ће се моћи кретати само у једном правцу, па ће В _р назначити правац и смер кретања кутије.

Разлика (А - Б)

Постоји много критеријума у ​​погледу разлике између вектора, многи аутори одлучују да га искључе и наводе да је прописана само сума између вектора, где је разлика око зброја супротног вектора. Истина је да се вектори могу алгебарски одузети.

А: (ак, аи, аз) Б: (бк, би, бз)

А - Б = ​​А + (-Б) = (ак-бк; аи-би; аз-бз) =

Скаларни производ (А. Б)

Познат и као тачкасти производ, ствара скаларну вредност која може бити повезана са различитим величинама у зависности од гране испитивања.

За геометрију наведите подручје паралелограма формираног пара паралелних вектора методом паралелограма. За механичку физику он дефинира рад који извршава сила Ф при помицању тијела удаљености Δр.

ѡ = П . Δр

Као што му име каже, он ствара скаларну вредност и дефинише се на следећи начин:

Нека су вектори А и Б

А: (ак, аи, аз) Б: (бк, би, бз)

-Аналитички облик:

(А. Б) = -А -.- Б-.Цос θ

Где је унутрашњи угао између оба вектора

-Алгебраиц облик:

(А. Б) = (ак.бк + аи.би + аз.бз)

Попречни производ (А к Б)

Вектор производ или скаларни производ вектора између два вектора, дефинише трећи вектора Ц који има квалитет су нормалне на Б и Ц . У физици је вектор обртног момента τ основни елемент ротационе динамике.

-Аналитички облик:

- А к Б - = -А -.- Б-.Сен θ

-Алгебраиц облик:

(А к Б) = = (ак. Би - аи. Бк) - (ак. Бз - аз. Бк) ј + (ак. Би - аи. Бк) к

-Релативно кретање: р _{А / Б}

Основа релативности је релативно кретање, а истодобни вектори су основа релативног кретања. Релативни положаји, брзине и убрзања могу се закључити применом следећег редоследа идеја.

р _{А / Б} = р _А - р _Б ; Релативни положај А у односу на Б

в _{А / Б} = в _А - в _Б ; Релативна брзина А у односу на Б

а _{А / Б} = а _А - а _Б ; Релативно убрзање А у односу на Б

Примери: решене вежбе

Вежба 1

Нека су А, Б и Ц паралелни вектори.

А = (-1, 3, 5) Б = (3, 5, -2) Ц = (-4, -2, 1)

-Дефинисати добијени вектор В _р = 2А - 3Б + Ц

2А = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

-3Б = (-3 (3), -3 (5), -3 (-2)) = (-9, -15, 6)

В _р = 2А + (-3Б) + Ц = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

В _р = (;; (10 + 6 + 1))

В _р = (-15, -11, 17)

-Дефинишите тачкасти производ (А. Ц)

(А. Ц) = (-1, 3, 5). (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4 - 6 + 5

(А. Ц) = 3

- Израчунајте угао између А и Ц

(А. Ц) = -А -.- Ц-. Цос θ Где је θ најкраћи угао између вектора

θ = 88,63 ⁰

- Пронађите вектор окомит на А и Б

За то је потребно дефинирати векторски производ између (-1, 3, 5) и (3, 5, -2). Као што је раније објашњено, матрица 3 к 3 је конструисана где је први ред састављен од вектора троструких јединица (и, ј, к). Затим се 2. и 3. ред чине вектори који раде, поштујући оперативни редослед.

(А к Б) = = и - ј + к

(А к Б) = (-5 - 9) И - (2 - 15) ј + (-5 - 9) к

(А к Б) = - 14 И + 13 ј - 14 к

Вежба 2

Нека су В _а и В _б вектори брзина А и Б респективно. Израчунајте брзину Б виђену из А.

В _а = (3, -1, 5) В _б = (2, 5, -3)

У овом случају се тражи релативна брзина Б у односу на А В _{Б / А}

В _{Б / А} = В _Б - В _А

В _{Б / А} = (2, 5, -3) - (3, -1, 5) = (-1, 6, -8)

Ово је вектор брзине Б који се види из А. Где је описан нови вектор брзине Б, узимајући референцу од посматрача позиционираног у А и крећући се брзином А.

Предложене вежбе

1-Конструирајте 3 вектора А, Б и Ц који су истовремено и повезују 3 операције између њих практичном вежбом.

2 - Нека су вектори А: (-2, 4, -11), Б: (1, -6, 9) и Ц: (-2, -1, 10). Пронађите векторе окомите на: А и Б, Ц и Б, збир А + Б + Ц.

4 Одредите 3 вектора који су окомити један на други, не узимајући у обзир оси координата.

5-Дефинирајте посао који се врши силом која подиже блок масе 5 кг са дна бунара дубоког 20 м.

6 - алгебрански показати да је одузимање вектора једнако збиру супротног вектора. Оправдајте своје постулате.

7-Означити вектор у свим нотацијама развијеним у овом чланку. (Картезијанска, поларна, аналитичка и сферна).

8-Магнетне силе које делују на магнет који почива на столу дају следећи вектори; В: (5, 3, -2), Т: (4, 7, 9), Х: (-3, 5, -4). Одредите у ком правцу ће се магнет кретати ако све магнетне силе делују истовремено.

Референце

1. Еуклидска геометрија и трансформације. Цлаитон В. Додге. Курирска корпорација, 1. јануара 2004
2. Како се решавају проблеми примењене математике Л. Моисеивитсцх. Курирска корпорација, 10. априла 2013
3. Основни појмови геометрије. Валтер Преновитз, Меиер Јордан. Ровман & Литтлефиелд, 4. октобра 2012
4. Вектори. Роцио Наварро Лацоба, 7. јуна 2014
5. Линеарна алгебра. Бернард Колман, Давид Р. Хилл. Пеарсон Едуцатион, 2006