ПОИССОНОВ ОДНОС: КОЕФИЦИЈЕНТ, ФОРМУЛЕ, ВРЕДНОСТИ, ПРИМЕРИ - ФИЗИЧКИ - 2025

Поиссонова 'с Однос То је показатељ деформације комада материјала пре примене одређених сила.

Када комад материјала који је изложен напетости или компресији подвргне деформацији, квоцијент између попречне деформације и уздужне деформације је управо Поиссонов омјер.

Слика 1. Поиссонов омјер мјери однос између уздужног истезања и попречног сужења. (Припремио Рицардо Перез)

На пример, гумени цилиндар који је изложен затезању на својим крајевима протеже се у уздужном смеру, али се сужава попречно. На слици 1 приказана је шипка чије су изворне димензије: дужина Л и пречник Д.

Шипка је подвргнута напетости Т на њеним крајевима, и као последица те напетости она се подвлачи, тако да је нова дужина Л '> Л. Али када се истеже, пречник јој се такође сужава на нову вредност: Д '<Д.

Квоцијент између истезања (позитивног) и сужења (негативног) помноженог с (-1), позитиван је број између 0 и 0,5. Овај број је такозвани Поиссонов однос ν (грчко слово ну).

Поиссонова формула односа

Да би се израчунао Поиссонов омјер, потребно је одредити уздужни и попречни напрезање.

Уздужни напрезање ε _Л је протезање подијељено с првобитном дужином:

ε _Л = (Л '- Л) / Л

Слично томе, попречни напрезање ε _Т је радијално сужење подељено са оригиналним пречником:

ε _Т = (Д '- Д) / Д

Стога се Поиссонов однос израчунава следећом формулом:

ν = - ε _Т / ε _Л

Однос са модулом еластичности и модулом крутости

Поиссонов однос ν повезан је са модулом Е еластичности (или Иоунговим модулом) и модулом крутости Г, следећом формулом:

Поиссон-ова вредност односа материјала

Слика 2. Нехрђајући челик има Поиссонов омјер између 0,30 и 0,31. Извор: Пикабаи.

Примери израчуна

Пример 1

Шипка од одређеног пластичног материјала има дужину од 150 мм и кружни пресек пречника 20 мм. Када је изложена сили компресије Ф од 612,25 кг-ф, примећује се скраћење за 14 мм и истовремено повећање пречника шипке за 0,85 мм.

Израчунајте:

а) Уздужни напрезање

б) попречни напрезање.

ц) Поиссонов однос тог материјала.

д) Иоунгов модул еластичности који одговара материјалу.

е) Модул крутости за ту пластику.

Решење за

Подсјетимо да је уздужни напрезање εЛ растезање подијељено с првобитном дужином:

εЛ = (Л '- Л) / Л

εЛ = (-14 мм) / 150 мм = -0,0933

Имајте на уму да је уздужни напрезање без димензија, а у овом случају је био негативан јер је дошло до смањења његове уздужне димензије.

Решење б

Слично томе, попречни навој εТ је радијални конус, подељен са оригиналним пречником:

εТ = (Д '- Д) / Д

εТ = (+0,85 мм) / 20 мм = 0,0425

Попречни напрезање је позитивно јер је дошло до повећања пречника шипке.

Решење ц

За израчунавање Поиссоновог омјера морамо имати на уму да је он дефинисан као негативан квоцијент између попречне деформације и уздужне деформације:

ν = - εТ / εЛ

ν = - 0,0425 / (-0,0933) = 0,4554

Треба имати на уму да је Поиссонов омјер позитиван бездимензијски број и за већину материјала је између 0 и 0,5.

Решење д

Иоунгов модул еластичности, означен словом Е, константа је пропорционалности у Хоокеовом закону. По Е, нормални напон σЛ је повезан са напрезањем εЛ, како следи:

σЛ = Е εЛ

Нормални напон је дефинисан као квоцијент између нормалне силе (у овом случају паралелне са оси шипке) и подручја попречног пресека:

σЛ = Ф / А = Ф / (π / 4 * Д ^ 2)

У овој вежби, сила Ф је 612,25 кг-ф, која се мора претворити у невтон, што је СИ јединица јединице:

Ф = 612,25 кг-ф = 612,25 * 9,8 Н = 6000 Н = 6 кН

Са свог дела, попречни пресек подручја А је:

А = (π / 4 * Д ^ 2) = (3.1416 / 4) * (20 * 10 ^ -3 м) ^ 2 = 3.1416 * 10 ^ -4 м ^ 2

Коначно, уобичајени стрес примењен на шипки је:

σЛ = Ф / А = 6000 Н / 3.1416 * 10 ^ -4 м ^ 2 = 19.098.593 Па = 19.098 МПа

Да бисмо израчунали Јунгов модул еластичности, решимо за Е из Хоокеовог закона σЛ = Е εЛ:

Е = σЛ / εЛ = 19,098,593 Па / 0,0333 = 204,7 МПа

Решење е

Модул крутости Г је повезан са Иоунговим модулом Е и Поиссоновим односом ν по овој формули:

Е / (2 Г) = 1 + ν

Одатле можемо решити за Г:

Г = Е / (2 (1 + ν)) = 204,7 МПа / (2 (1 + 0,4554)) = 70,33 МПа

Пример 2

Постоји бакрени кабл пречника 4 мм и дужине 1 м. Знајући да је Иоунгов модул бакра 110 000 МПа и да је Поиссонов омјер 0,34, процијените истезање и сужавање у промјеру које жица пролази када је на њу објешена тежина од 100 кг-ф.

Решење

Прво је потребно израчунати нормалан затезни напон који тежина делује на жици, следећи ову формулу:

σЛ = Ф / А = Ф / (π / 4 * Д ^ 2)

Сила Ф је 980 Н, а површина попречног пресека је:

А = (π / 4 * Д ^ 2) = (3.1416 / 4) * (4 * 10 ^ -3 м) ^ 2 = 1.2566 * 10 ^ -5 м ^ 2

Тада је затезни напон:

σЛ = 980 Н / 1,2566 * 10 ^ -5 м ^ 2 = 77,986,000 Па

Прорачун напрезања жице

Иоунгов модул еластичности, означен словом Е, константа је пропорционалности у Хоокеовом закону која повезује нормални напон σЛ са напрезањем εЛ:

σЛ = Е εЛ

Одатле се може решити уздужни навој бакрене жице:

εЛ = σЛ / Е = 77,986 МПа / 110000 МПа = 7,09 * 10 ^ -4

Прорачун попречног напрезања

С друге стране, да бисмо знали попречни напрезање, примењује се Поиссонов однос:

ν = - εТ / εЛ

Коначно, попречни напрезање је:

εТ = –ν εЛ = - 0,34 * 7,09 * 10 ^ -4 = -2,41 * 10 ^ -4

Прорачун апсолутног растезања кабла

Коначно, да би се знало апсолутно растезање кабла, мора се применити следећи однос:

ΔЛ = εЛ * Л = 7.09 * 10 ^ -4 * 1 м = 7.09 * 10 ^ -4 м = 0.709 мм

Другим речима, са овом тежином кабл се једва протезао 0,709 милиметара.

Прорачун смањења пречника

Да бисмо добили апсолутно скупљање у пречнику, користимо следећу формулу:

ΔД = εТ * Д = -2.41 * 10 ^ -4 * 4 мм = -9.64 * 10 ^ -4 мм = -0.000964 милиметара.

Ово сужавање у пречнику је толико мало да је тешко видети голим оком, чак и за његово мерење је потребан инструмент велике прецизности.

Референце

1. Пиво Ф .. Механика материјала. 5. Едитион. 2010. Мц Грав Хилл. 1-130.
2. Хиббелер Р. Механика материјала. Осмо издање Прентице Халл. 2011. 3-60.
3. Гере Ј. Механика материјала. Осмо издање Ценгаге Леарнинг. 4-220.
4. Гианцоли, Д. 2006. Физика: принципи примјене. 6. дворана Прентице. 238-242.
5. Валера Негрете, Ј. 2005. Биљешке о општој физици. УНАМ. 87-98.