ШТА СУ КОПЛАНАРНИ ВЕКТОРИ? (СА РЕШЕНИМ ВЕЖБАМА) - ФИЗИЧКИ - 2025

У цопланар вектори или цопланар су они који су садржани у истој равни. Кад постоје само два вектора, они су увек копланарни, пошто постоје бесконачне равни, увек је могуће одабрати онај који их садржи.

Ако имате три или више вектора, можда неки од њих нису у истој равни као и остали, па се не могу сматрати копланарним. Следећа слика приказује скуп копланарних вектора означених подебљаним А , Б , Ц и Д :

Слика 1. Четири копланарна вектора. Извор: селф маде.

Вектори су повезани са понашањем и својствима физичких величина релевантних за науку и инжењерство; на пример брзина, убрзање и сила.

Сила производи различите ефекте на објект када се мења начин на који се примењује, на пример променом интензитета, смера и смера. Чак и променом само једног од ових параметара, резултати се знатно разликују.

У многим апликацијама, и у статику и у динамици, силе које делују на тело налазе се на истој равни, па се сматрају копланарним.

Услови да вектори буду копланарни

Да би три вектора била копланарна, они морају да леже у истој равнини, а то се догађа ако испуњавају било који од следећих услова:

-Вектори су паралелни, па су њихове компоненте пропорционалне и линеарно зависне.

-Ваш мешовити производ је ништав.

-Ако имате три вектора и било који од њих може се записати као линеарна комбинација друга два, ови вектори су копланарни. На пример, вектор који је резултат збир два друга, сва три су у истој равнини.

Алтернативно, услов копланарности може се поставити на следећи начин:

Мешовити производ између три вектора

Мешовити производ између вектора је дефинисан са три вектора у , в и в, што резултира скаларом који је резултат обављања следеће операције:

у · ( в к в ) = у · (в к в )

Прво се проводи производ који се налази у заградама: в к в , чији је резултат нормалан вектор (окомит) на равнину у којој леже и в и в .

Ако у налази на истој равни као и против и в , природно скаларног производа (дот производ) између уи рече вектор нормале мора да буде 0. На овај начин се утврди да су три вектори су цопланар (они леже у истој равни).

Када мешани производ није једнак нули, његов резултат је једнак запремини паралелепипеда који имају векторе у , в и в као суседне стране.

Апликације

Копланарне, истодобне и неколинеарне силе

Све истодобне силе примењују се на исту тачку. Ако су такође копланарне, могу их заменити једном, која се назива резултантна сила и има исти ефекат као и изворне силе.

Ако је тело у равнотежи захваљујући три копланарне силе, паралелне и некоколинеарне (нису паралелне), зване А , Б и Ц, Ламијева теорема указује да је однос између ових сила (величине) следећи:

А / син α = Б / син β = Ц / син γ

Са α, β и γ у супротним угловима према примењеним силама, као што је приказано на следећој слици:

Слика 2. Три копланарне силе А, Б и Ц делују на објект. Извор: Киваквок на енглеској Википедији

Решене вежбе

-Вежба 1

Пронађите вредност к тако да су следећи вектори копланарни:

у = <-3, к, 2>

в = <4, 1, 0>

в = <-1, 2, -1>

Решење

Како имамо компоненте вектора, користи се критеријум мешовитог производа, дакле:

у ( в к в ) = 0

Прво решите в к в. Вектори ће бити изражени у јединичним векторима и , ј и к који разликују три окомита смера у простору (ширина, висина и дубина):

в = 4 и + ј + 0 к

в = -1 и + 2 ј -1 к

в к в = -4 (ики) + 8 (икј) - 4 (икк) - (јки) + 2 (јкј) - 2 (јкк) = 8 к + 4 ј + к -2 и = -2 и + 4 ј + 9 к

Сада размотримо скаларни производ између у и вектора који је резултат претходне операције, постављајући операцију једнаку 0:

у ( в к в ) = (-3 и + к ј + 2 к ) · (-2 и + 4 ј + 9 к ) = 6 + 4к +18 = 0

24 + 4к = 0

Тражена вредност је: к = - 6

Дакле, вектор у је:

у = <-3, -6, 2>

-Вежба 2

На слици је приказан предмет чија је тежина В = 600 Н, који виси у равнотежи захваљујући кабловима постављеним под угловима приказаним на слици 3. Да ли је могуће применити Ламијеву теорему у овој ситуацији? У сваком случају, пронаћи магнитуда Т ₁ , Т _2, а Т _3. који чине равнотежа могуће.

Слика 3. Тежина виси у равнотежи под дејством три приказана напрезања. Извор: селф маде.

Решење

Ламијева теорема је применљива у овој ситуацији ако се размотри чвор на који су примијењена три напрезања, јер они представљају систем копланарних сила. Прво се прави дијаграм слободног тела за висећу тежину, како би се одредила јачина Т _3:

Слика 4. Дијаграм слободног тела за обешање тегова. Извор: селф маде.

Из равнотежног стања произлази да:

На следећој слици црвени су углови између сила означени црвеном бојом, лако се може проверити да је њихова сума 360º. Сада је могуће применити Ламијеву теорему, пошто су позната једна од сила и три угла између њих:

Слика 5.- Црвени углови црвеном бојом примењују Ламијеву теорему. Извор: селф маде.

Т ₁ / син 127º = Ш / син 106º

Стога: Т ₁ = син 127º (В / син 106º) = 498,5 Н

Опет Лами теорема се примењује да реши за Т ₂ :

Т ₂ / син 127 = Т ₁ / син 127º

Т ₂ = Т ₁ = 498,5 Н

Референце

1. Фигуероа, Д. Серија: Физика за науку и инжењерство. Том 1. Кинематика. 31-68.
2. Физички. Модул 8: Вектори. Опоравак од: фртл.утн.еду.ар
3. Хиббелер, Р. 2006. Механика за инжењере. Статички 6. издање Цонтинентал Публисхинг Цомпани, 28-66.
4. МцЛеан, В. Сцхаум Сериес. Механика за инжењере: Статика и динамика. 3рд Едитион. МцГрав Хилл. 1-15.
5. Википедиа. Вектор. Опоравак од: ес.википедиа.орг.