НОРТОНОВА ТЕОРЕМА: ОПИС, АПЛИКАЦИЈЕ, ПРИМЕРИ И ВЕЖБЕ - ФИЗИЧКИ - 2025

Теорема Нортон , примењена на електричним струјним колима, поставља линеарни склоп са два терминала а и б, може бити замењен другим потпуно еквивалентним, састоји се од текућег извор Зовем _не повезано паралелно са отпором Р _Но .

Наведена струја И _Не или И _Н је она која би текла између тачака а и б, уколико би оне биле кратког споја. Отпор Р _Н је еквивалентни отпор између терминала, када се искључе сви независни извори. Све што је речено приказано је на слици 1.

Слика 1. Нортонов еквивалентни круг. Извор: Викимедиа Цоммонс. Друмкид

Црна кутија на слици садржи линеарни круг који треба заменити својим Нортоновим еквивалентом. Линеарни круг је онај у којем улаз и излаз имају линеарну зависност, попут односа напона В и директне струје И у охмичком елементу: В = ИР

Овај израз одговара Охмовом закону, где је Р отпор, који такође може бити импеданција, ако се ради о колу наизменичних струја.

Нортонову теорему је развио инжењер електротехнике и проналазач Едвард Л. Нортон (1898-1983), који је дуго радио за Белл Лабс.

Примене Нортонове теореме

Када имате веома компликоване мреже, са много отпора или импеданција и желите да израчунате напон између било које од њих, или струју која тече кроз њега, Нортонова теорема поједностављује израчуне, јер као што смо видели, мрежа се може заменити за мањи и управљивији круг.

На овај начин, Нортонова теорема је веома важна приликом дизајнирања кола са више елемената, као и за проучавање одговора на њих.

Однос између Нортонове и Тхевенинове теореме

Нортонова теорема је двојница Тхевенинове теореме, што значи да су једнаки. Тхевенинова теорема каже да се црна кутија на слици 1 може заменити извором напона у низу са отпорником, званим Тхевенин отпорник Р _Тх . То је изражено на следећој слици:

Слика 2. Изворни круг на левој страни и његови еквиваленти Тхевенин и Нортон. Извор: Ф. Запата.

Круг са леве стране је оригинални круг, линеарна мрежа у црном оквиру, круг А у горњем десном углу је Тхевенин еквивалент, а круг Б је Нортонов еквивалент, како је описано. Гледано са терминала а и б, три круга су једнака.

Сада имајте на уму да:

-У оригиналном кругу напон између терминала је В _аб .

-В _аб = В _Тх у кругу А

-На крају, В _аб = И _Н .Р _Н у кругу Б

Ако су терминали а и б кратки у сва три круга, мора се уверити да напон и струја између ових тачака морају бити једнаки за сва три круга, јер су једнаки. Тако:

-У оригиналном кругу је ја.

-За склоп А, струја је и = В _Тх / Р _Тх , према Охмовом закону.

-На крају у кругу Б, струја је И _Н

Стога се закључује да отпори Нортона и Тхевенина имају исту вриједност, а струју дају:

и = И _Н = В _Тх / Р _Тх = В _Тх / Р _Н

Пример

Да бисте правилно применили Нортонову теорему, следе следећи кораци:

-Одвојите од мреже део круга за који треба да се нађе Нортонов еквивалент.

-У преосталом кругу наведите терминале а и б.

- Замените изворе напона за кратке спојеве и изворе струје за отворене струјне кругове како бисте пронашли еквивалентни отпор између терминала а и б. Ово је Р _Н .

-Вратите све изворе на првобитни положај, кратко спојите терминале и пронађите струју која циркулише између њих. Ово је и _Н .

-Нацртајте Нортонов еквивалентни круг према ономе што је приказано на слици 1. Паралелно су и извор струје и еквивалентни отпор.

Тхевенинова теорема се такође може применити за проналажење Р _{Тх, за} који већ знамо да је једнак Р _Н , тада по Охмовом закону можемо пронаћи И _Н и наставити да цртамо резултирајући круг.

А сада да видимо пример:

Пронађите Нортонов еквивалент између тачака А и Б следећег круга:

Слика 3. Примјер кола. Извор: Ф. Запата.

Део склопа чији се еквивалент треба наћи је већ изолован. И тачке А и Б су јасно одређене. Следи кратки спој извора 10 В и проналазак еквивалентног отпора добијеног круга:

Слика 4. Извор кратког споја. Извор: Ф. Запата.

Гледано од терминала А и Б, оба отпорници Р ₁ и Р ₂ су паралелно, дакле:

1 / Р _ек = 1 / Р ₁₂ = (1/4) + (1/6) Ω ^-1 = 5/12 Ω ^-1 → Р _ек = 12/5 Ω = 2,4 Ω

Онда је извор вратио на место и тачке А и Б су кратак да пронађу струје која тече тамо, ово ћу _Н . У том случају:

Слика 5. Круг за израчунавање Нортонове струје. Извор: Ф. Запата.

И _Н = 10 В / 4 Ω = 2,5 А

Нортон еквивалент

Коначно, Нортонов еквивалент се црта са пронађеним вредностима:

Слика 6. Нортонов еквивалент круга на слици 3. Извор: Ф. Запата.

Вежба решена

У кругу следеће слике:

Слика 7. Круг за решену вежбу. Извор: Алекандер, Ц. 2006. Основе електричних кола. 3рд. Едитион. Мц Грав Хилл.

а) Пронађите екран еквивалентног Нортона спољне мреже до плавог отпора.

б) Нађите и Тхевенин еквивалент.

Решење за

Слиједом горе наведених корака, извор мора бити кратког споја:

Слика 8. Извор кратког споја у кругу на слици 7. Извор: Ф. Запата.

РН прорачун

Гледано од терминала А и Б, отпорник Р ₃ је у серији са паралелно формирана од отпорнике Р ₁ и Р ₂ , прво израчуна еквивалентни отпор ове паралелно:

А онда је та паралела у серији са Р3 _, па је еквивалентни отпор:

Ово је вредност и Р _Н и Р _Тх , као што је раније објашњено.

ИН прорачун

Затим су терминали А и Б кратки, а извор враћају на своје место:

Слика 9. Кругови за проналажење Нортонове струје. Извор: Ф. Запата.

Струја кроз И ₃ је струја _Н тражио, која се може одредити методом меш или коришћењем серије и паралелне. У овом кола Р ₂ и Р ₃ су паралелно:

Отпорник Р ₁ у серији са овим паралелно, онда:

Струја која излази из извора (плава боја) се израчунава помоћу Охмовог закона:

Овај тренутни је подељен на два дела: један који пролази кроз Р ₂ и друга која пролази кроз Р ₃ . Међутим, струја која пролази кроз паралелне Р _23. иста која пролази кроз Р ₁ , што се може видети у средњем кругу на слици. Напон тамо је:

Оба отпорници Р ₂ и Р ₃ су на тај напон, јер су паралелно, дакле:

Већ имамо тражену Нортонову струју, јер као што је раније речено И ₃ = И _Н , тада:

Нортон еквивалент

Све је спремно за цртање нортонског еквивалента овог круга између тачака А и Б:

Слика 10. Нортонов еквивалент круга на слици 7. Извор: Ф. Запата.

Решење б

Проналажење Тхевениновог еквивалента веома је једноставно, будући да је Р _Тх = Р _Н = 6 Ω и како је објашњено у претходним одељцима:

В _Че = ја _Н . Р _Н = 1 А. 6 Ω = 6 В

Тхевенин еквивалентни круг је:

Слика 11. Тхевенин еквивалент круга на слици 7. Извор: Ф. Запата.

Референце

1. Алекандер, Ц. 2006. Основе електричних кола. 3рд. Едитион. Мц Грав Хилл.
2. Боилестад, Р. 2011. Увод у анализу кола. 2нд. Едитион. Пеарсон.
3. Дорф, Р. 2006. Увод у електрична кола. 7тх. Едитион. Јохн Вилеи & Сонс.
4. Едминистер, Ј. 1996. Електрични кругови. Сцхаум серија. 3рд. Едитион. Мц Грав Хилл.
5. Википедиа. Нортонова теорема. Опоравак од: ес.википедиа.орг.