ВЕКТОРИ У СВЕМИРУ: КАКО ГРАФИКОВАТИ, АПЛИКАЦИЈЕ, ВЕЖБЕ - ФИЗИЧКИ - 2025

Вектор у простору је све то представљено координатном систему коју је дао к, и и з. Већину времена ки је хоризонтална површинска равнина, а з оса представља висину (или дубину).

Картезијеве координатне оси приказане на слици 1 дијеле простор на 8 региона названих октанти, аналогно начину на који к - и оси дијеле равнину на 4 квадранта. Тада ћемо имати 1. октанта, 2. октанта и тако даље.

Слика 1. Вектор у простору. Извор: селф маде.

Слика 1 садржи приказ вектора в простору. Потребна је одређена перспектива да се створи илузија три димензије на равнини екрана, што се постиже цртањем косог погледа.

За графички приказ 3Д вектора треба користити испрекидане линије које на мрежи одређују координате пројекције или "сенке" в на ки површини. Ова пројекција почиње на О и завршава се у зеленој тачки.

Кад стигнете тамо, наставите дуж вертикале до потребне висине (или дубине) према вредности з, све док не дођете до П. Вектор се црта почевши од О и завршавајући на П, што је у примеру у 1. октану.

Апликације

Вектори у свемиру се широко користе у механици и другим гранама физике и инжењерства, јер структуре које нас окружују захтевају геометрију у три димензије.

Позициони вектори у простору користе се за позиционирање објеката у односу на референтну тачку која се зове ОР порекло, па су и они потребни алати у навигацији, али то није све.

Силе које делују на конструкције као што су вијци, носачи, каблови, потпорње и друго су векторске природе и оријентисане у простору. Да би се знао његов ефекат, потребно је знати његову адресу (а такође и место примене).

И често се правац силе зна по познавању две тачке у простору које припадају њеној линији деловања. На овај начин сила је:

Ф = Ф у

Где је Ф магнитуда или интензитет силе и У је јединични вектор (модул 1) усмерен дуж линије акционог Ф .

Нотација и 3Д векторске репрезентације

Пре него што наставимо са решавањем неких примера, укратко ћемо прегледати 3Д векторску нотацију.

У примјеру на слици 1, вектор в чија се почетна тачка поклапа са исходиштем О и чији је крај тачка П има позитивне киз координате, док је и координата негативна. Те координате су: к ₁ , и ₁ , з ₁ , које су тачно координате П.

Дакле, ако имамо вектор повезан са пореклом, тј. Чија се почетна тачка поклапа са О, врло је лако назначити његове координате, које ће бити крајње тачке или П. Да бисмо разликовали тачку и вектор, користићемо да последња подебљана слова и заграде, као што је овај:

в = <к ₁ , и ₁ , з ₁ >

Док је тачка П означена заградама:

П = (к ₁ , и ₁ , з ₁ )

Други приказ користи јединице вектора и , ј и к које дефинишу три правца простора на оси к, и и з.

Ови вектори су окомити један на другог и формирају ортонормалну основу (види слику 2). То значи да се 3Д вектор може на њих написати као:

в = в _к и + в _и ј + в _з к

Углови и режије козине вектора

На слици 2 такође су приказани директоријски углови γ ₁ , γ ₂ и γ ₃ које вектор в чини, респективно, са оси к, и и з. Знајући ове углове и величину вектора, то је потпуно одређено. Поред тога, косинуси режисера углова испуњавају следећи однос:

(цос γ ₁ ) ² + (цос γ ₂ ) ² + (цос γ ₃ ) ² = 1

Слика 2. Векторски јединице и, ј и к одређују 3 преференцијална смера простора. Извор: селф маде.

Решене вежбе

-Вежба 1

На слици 2, углови γ ₁ , γ ₂ и γ ₃ које вектор в модула 50 формира са координатним осовинама су: 75,0º, 60,0º и 34,3º. Пронађите картезијанске компоненте овог вектора и представљајте их према јединичним векторима и , ј и к .

Решење

Пројекција вектора в на оси к је в _к = 50. цос 75º = 12.941. На исти начин, пројекција в на оси и је в _и = 50 цос 60 º = 25 и коначно на ос з је в _з = 50. цос 34.3 º = 41.3. Сада се в може изразити као:

в = 12,9 и + 25,0 ј + 41,3 к

-Вежба 2

Пронађите напетости у сваком од каблова који држе канту на слици која је у равнотежи, ако је њена тежина 30 Н.

Слика 3. Дијаграм напрезања за вежбу 2.

Решење

На канти, дијаграм слободног тела показује да Т _Д (зелена) надокнађује тежину В (жута), дакле Т _Д = В = 30 Н.

На чвору је вектор Т _Д усмерен вертикално надоле, тада:

Т _Д = 30 (- к ) Н.

Да бисте успоставили преостале напоне, следите ове кораке:

1. корак: Пронађите координате свих тачака

А = (4,5,0,3) (А је на равнини зида кз)

Б = (1,5,0,0) (Б је на к-оси)

Ц = (0, 2,5, 3) (Ц је на равнини зида и з)

Д = (1,5, 1,5, 0) (Д је на хоризонталној ки равнини)

Корак 2: Пронађите векторе у сваком правцу одузимањем координата краја и почетка

ДА = <3; -1.5; 3>

ДЦ = <-1.5; једно; 3>

ДБ = <0; -1.5; 0>

Корак 3: Израчунајте модуле и векторе јединице

Јединствени вектор се добија изразом: у = р / р, при чему је р (подебљано) вектор, а р (не подебљано) је модул наведеног вектора.

ДА = (3 ² + (-1,5) ² + 3 ² ) ^½ = 4,5; ДЦ = ((-1,5) ² + 1 ² + 3 ² ) ^½ = 3,5

у _ДА = <3; -1.5; 3> 4,5 = <0,67; -0.33; 0.67>

у _ДЦ = <-1,5; једно; 3> 3,5 = <-0,43; 0,29; 0.86>

у _ДБ = <0; -једно; 0>

у _Д = <0; 0; -1>

Корак 4: Изразити све напоне као векторе

Т _ДА = Т _ДА у _ДА = Т _ДА <0.67; -0.33; 0.67>

Т _ДЦ = Т _ДЦ у _{ДЦ =} Т _ДЦ <-0,43; 0,29; 0.86>

Т _ДБ = Т _ДБ у _ДБ = Т _ДБ <0; -једно; 0>

Т _Д = 30 <0; 0; -1>

Корак 5: Примените стање статичке равнотеже и решите систем једначина

Коначно, услов статичке равнотеже се примењује на канту, тако да је векторски зброј свих сила на чвору нула:

Т _ДА + Т _ДЦ + Т _ДБ + Т _Д = 0

Пошто су напони у простору, то ће резултирати системом од три једначине за сваку компоненту (к, и и з) напона.

0,67 Т _ДА -0,43 Т _ДЦ + 0 Т _ДБ = 0

-0,33 Т _ДА + 0,29 Т _ДЦ - Т _ДБ = 0

0,67 Т _ДА + 0,86 Т _ДЦ + 0 Т _ДБ - 30 = 0

Решење је: Т _ДА = 14,9 Н; Т _ДА = 23,3 Н; Т _ДБ = 1,82 Н

Референце

1. Бедфорд, 2000. А. Инжењерска механика: Статика. Аддисон Веслеи. 38-52.
2. Фигуероа, Д. Серија: Физика за науку и инжењерство. Свезак 1. Кинематика. 31-68.
3. Физички. Модул 8: Вектори. Опоравак од: фртл.утн.еду.ар
4. Хиббелер, Р. 2006. Механика за инжењере. Статички 6. издање Цонтинентал издавачка компанија. 15-53.
5. Вецтор Аддитион Цалцулатор. Опоравак од: 1728.орг