НЕКОПЛАНАРНИ ВЕКТОРИ: ДЕФИНИЦИЈА, УСЛОВИ, ВЕЖБЕ - ФИЗИЧКИ - 2025

У не - Цопланар вектори су они који не деле исти авион. Два слободна вектора и тачка одређују једну равнину. Трећи вектор може или не мора делити ту равнину, а ако се то не догоди, то су некопланарни вектори.

Некопланарни вектори не могу бити представљени у дводимензионалним просторима попут плоче или папира, јер су неки од њих садржани у трећој димензији. Да бисте их правилно представили, морате користити перспективу.

Слика 1. Копланарни и некопланарни вектори. (Властита обрада)

Ако погледамо слику 1, сви приказани предмети налазе се строго у равнини екрана, међутим захваљујући перспективи наш мозак може замислити равнину (П) која излази из ње.

На тој равнини (П) су вектори р , с , у , док вектори в и в нису у тој равнини.

Према томе, вектори р , с , у су копланарни или копланарни један према другом јер деле исту равнину (П). Вектори в и в не дијеле равнину с било којим другим приказаним вектором, дакле нису копланарни.

Копланарни вектори и једначина равнине

Равнина је јединствено дефинисана ако у тродимензионалном простору постоје три тачке.

Претпоставимо да су ове три тачке тачка А, тачка Б и тачка Ц које дефинишу равнину (П). Помоћу ових тачака могуће је конструирати два вектора АБ = у и АЦ = в који су по конструкцији копланарни са равнином (П).

Векторски производ (или умрежени производ) ова два вектора резултира трећим вектором окомитим (или нормалним) на оба, а самим тим и окомитим на равнину (П):

н = у Кс в => н ⊥ у и н ⊥ в => н ⊥ (П)

Било која друга тачка која припада равнини (П) мора задовољити да је вектор АК окомит на вектор н ; То је еквивалентно казивању да тачкасти производ (или тачкасти производ) од н са АК мора бити нула:

н • АК = 0 (*)

Претходни услов је еквивалентан казивању да:

АК • ( у Кс в ) = 0

Ова једначина осигурава да тачка К припада равнини (П).

Картезијанска једначина равнине

Горња једначина може се написати у картезијанском облику. Да бисмо то учинили, напишемо координате тачака А, К и компоненте нормалног вектора н :

Дакле, компоненте АК-а су:

Услов да се вектор АК налази у равнини (П) је услов (*) који је сада написан овако:

Израчунавање тачканог производа остаје:

Ако је развијен и преуређен остаје:

Претходни израз је картезијанска једначина равнине (П), као функција компонената вектора нормалних до (П) и координата тачке А која припада (П).

Услови да три вектора не буду копланарни

Као што се види у претходном одељку, услов АК • ( у Кс в ) = 0 гарантује да је вектор АК копланаран са у и в .

Ако назовемо вектор АК в, онда можемо да потврдимо да:

в , у и в су копланарни, ако и само ако в • ( у Кс в ) = 0.

Некопланарност

Ако је троструки продукт (или мешовити производ) три вектора различит од нуле, онда су та три вектора некопланарна.

Ако је в • ( у Кс в ) = 0, тада су вектори у, в и в некопланарни.

Ако су уведене картезијанске компоненте вектора у, в и в, услов некомплетности може се написати овако:

Троструки производ има геометријску интерпретацију и представља запремину паралелепипеда генерисаног од три некопланарна вектора.

Слика 2. Три некопланарна вектора дефинишу паралелепипед чија је запремина модул троструког производа. (Властита обрада)

Разлог је следећи; Када се два некопланарна вектора мултиплицирају векторски, добија се вектор чија је величина површина паралелограма који стварају.

Онда када је овај вектор скаларно множен са трећим некопланарним вектором, оно што имамо је пројекција на вектор окомит на равнину који прва два одређују помножено са површином коју они одређују.

Другим речима, имамо област паралелограма која је генерисана у прва два, помножена са висином трећег вектора.

Алтернативни услови некомпланарности

Ако имате три вектора и ниједан се од њих не може записати као линеарна комбинација остала два, онда су три вектора некопланарна. То јест, три вектора у , в и в нису копланарни ако је услов:

α у + β в + γ в = 0

Задовољава се само када је α = 0, β = 0 и γ = 0.

Решене вежбе

-Вежба 1

Постоје три вектора

у = (-3, -6, 2); в = (4, 1, 0) и в = (-1, 2, з)

Имајте на уму да је з компонента вектора в непозната.

Пронађите опсег вредности које з може да преузме, тако да загарантовано је да три вектора не деле исту равнину.

Решење

в • ( у Кс в ) = -3 (з - 0) + 6 (4 з - 0) + 2 (8 + 1) = -3з + 24з + 18 = 21з + 18

Постављамо овај израз једнак нули

21 з + 18 = 0

и решимо за з

з = -18 / 21 = -6/7

Ако би променљива з узела вредност -6/7, тада би три вектора била копланарна.

Дакле, вредности з које гарантују да су вектори некопланарни су оне у следећем интервалу:

з ∈ (-∞, -6 / 7) У (-6/7, ∞)

-Вежба 2

Пронађите волумен паралелепипеда приказан на следећој слици:

Решење

Да би се пронашао волумен паралелепипеда приказан на слици, утврдиће се картезијанске компоненте три паралелна некопланарна вектора на месту настанка координатног система. Први је вектор у 4м и паралелан са оси Кс:

у = (4, 0, 0) м

Други је вектор в КСИ равнини величине 3м који са оси Кс формира 60 °:

в = (3 * цос 60º, 3 * син 60º, 0) = (1.5, 2.6, 0.0) м

А трећи је вектор в од 5м и чија пројекција у КСИ равнини формира 60 ° са Кс оси, а в формира 30 ° са оси З.

в = (5 * син 30º * цос 60º, 5 * син 30º * син 60º, 5 * син 30º)

Једном када су прорачуни извршени, добили смо: в = (1,25, 2,17, 2,5) м.

Референце

1. Фигуероа, Д. Серија: Физика за науку и инжењерство. Том 1. Кинематика. 31-68.
2. Физички. Модул 8: Вектори. Опоравак од: фртл.утн.еду.ар
3. Хиббелер, Р. 2006. Механика за инжењере. Статички 6. издање Цонтинентал Публисхинг Цомпани, 28-66.
4. МцЛеан, В. Сцхаум Сериес. Механика за инжењере: Статика и динамика. 3рд Едитион. МцГрав Хилл. 1-15.
5. Википедиа. Вектор. Опоравак од: ес.википедиа.орг