АРЕОЛАРНА БРЗИНА: КАКО СЕ ИЗРАЧУНАВА И КАКО СЕ ВЕЖБЕ РЕШАВАЈУ - ФИЗИЧКИ - 2025

Ареолар брзина је подручје захватила у јединици времена и константна. Специфичан је за сваку планету и произилази из описа другог Кеплеровог закона у математичком облику. У овом чланку ћемо објаснити шта је то и како се израчунава.

Бум који представља откриће планета изван Сунчевог система поново је активирао интерес за планетарно кретање. Ништа нас не тера да верујемо да ове егзопланете следе другачије законе од оних који су већ познати и важећи у Сунчевом систему: Кеплерови закони.

Јоханес Кеплер био је астроном који је без помоћи телескопа и користећи запажања свог ментора Тицхоа Брахе-а створио математички модел који описује кретање планета око Сунца.

Оставио је овај модел утврен у три закона која носе његово име и који и данас важе тако као 1609. године, када је основао прва два и 1618., датума када је изговорио трећи.

Кеплерови закони

У данашњем говору, Кеплерова три закона гласе овако:

1. Орбите свих планета су елиптичне, а Сунце је у једном фокусу.

2. Вектор позиције од Сунца до планете помера се кроз једнака подручја у једнаким временима.

3. Квадрат орбиталног периода планете пропорционалан је коцки полу-главне оси описане елипсе.

Планета ће имати линеарну брзину, као и сваки познати покретни објекат. И још је нешто: код писања Кеплеровог другог закона у математичком облику појављује се нови концепт који се назива ареоларна брзина, типична за сваку планету.

Зашто се планете елиптично крећу око Сунца?

Земља и друге планете крећу се око Сунца захваљујући чињеници да врши силу на њих: гравитациону привлачност. Исто се дешава са било којом другом звездом и планетима који чине њен систем, ако их има.

Ово је сила типа позната као централна сила. Тежина је централна сила коју су сви упознати. Објекат који врши централну силу, било да је то Сунце или далека звезда, привлачи планете ка свом центру и они се крећу у затвореној кривини.

У принципу, ова кривуља се може приближити обиму, као што је то урадио и Ницолас Коперник, пољски астроном који је створио хелиоцентричну теорију.

Одговорна сила је гравитациона привлачност. Ова сила директно зависи од масе звезде и дотичне планете и обрнуто је пропорционална квадрату растојања који их раздваја.

Проблем није тако лак, јер у соларном систему сви елементи међусобно делују, додајући сложеност материји. Даље, нису честице, пошто звезде и планете имају мерљиву величину.

Из тог разлога, централна тачка орбите или круга којом планете нису тачно усредсређена на звезду, већ у тачки познатој као тежиште система сунчевог планета.

Добијена орбита је елиптична. Следећа слика приказује то, узимајући за пример Земљу и Сунце:

Слика 1. Земљина орбита је елиптична, а Сунце се налази у једном од жаришта. Када су Земља и Сунце на максималној удаљености, за земљу се каже да је у афезији. А ако је удаљеност минимална, тада говоримо о перихелију.

Афелиј је најудаљенији положај на Земљи од Сунца, док је перихелион најближа тачка. Елипса може бити мање или више спљоштена, зависно од карактеристика система звијезда-планета.

Вредности афелија и перихелија варирају на годишњем нивоу, јер остале планете изазивају поремећаје. За друге планете, ове позиције се зову апоастер и периастер.

Величина линеарне брзине планете није константна

Кеплер је открио да када планета орбитира против Сунца, током свог кретања она брише једнака подручја у једнаким временима. Слика 2 графички приказује значење овога:

Слика 2. Вектор позиције планете у односу на Сунце је р. Када планета опише своју орбиту, путује лук елипсе Δс у времену Δт.

Математички, чињеница да је ₁ једнако А ₂ изражава овако:

Пресвођени лукови Δс су мали, тако да се свако подручје може приближно приближити квадрату:

Пошто је Δс = в Δ т, где је в линеарна брзина планете у датој тачки, супституцијом имамо:

А пошто је временски интервал Δт исти, добијамо:

Пошто је р ₂ > р ₁ , тада је в ₁ > в ₂ , другим речима, линеарна брзина планете није константна. У ствари, Земља иде брже када је у перихелију него када је у афелију.

Стога линеарна брзина Земље или било које планете око Сунца није величина која служи за карактерисање кретања наведене планете.

Ареоларна брзина

Следећим примером показаћемо како израчунати ареоларну брзину када су познати неки параметри кретања планета:

Вежбајте

Егзопланета се креће око свог сунца пратећи елиптичну орбиту, према Кеплеровим законима. Кад је у перијастеру, његов вектор радијуса је р ₁ = 4 · 10 ⁷ км, а када је на апоастеру, р је ₂ = 15 · 10 ⁷ км. Линеарна брзина на њеном перијастеру је в ₁ = 1000 км / с.

Израчунајте:

А) Величина брзине у апоастру.

Б) Ареоларна брзина егзо-планете.

Ц) Дужина полу-главне осе елипсе.

Одговор на)

Користи се једначина:

у којима су нумеричке вредности замењене.

Сваки термин је идентификован на следећи начин:

в ₁ = брзина у апоастру; в ₂ = брзина на периастеру, р ₁ = удаљеност од апоастера,

р ₂ = удаљеност од перијастера.

Помоћу ових вредности добијате:

Одговор Б)

1. Серваи, Р., Јеветт, Ј. (2008). Физика за науку и инжењерство. Том 1. Мексико. Повежите уреднике учења. 367-372.
2. Стерн, Д. (2005). Три закона Кеплеровог кретања планета. Опоравак од пвг.гсфц.наса.гов
3. Напомена: предложена вежба преузета је и модификована из следећег текста у књизи МцГравХилл. Нажалост, то је изоловано поглавље у пдф формату, без наслова или аутора: мхедуцатион.ес/бцв/гуиде/цапитуло/844817027Кс.пдф