ДЈЕЛОМИЧНИ ДЕРИВАТИ: НОТАЦИЈА, ПРИМЈЕРИ И РИЈЕШЕНЕ ВЈЕЖБЕ - МАТХС - 2025

У парцијални изводи на функцију неколико варијабли су оне које одређују брзину промене функције када је један од варијабли има бескрајно варијацију, а остале променљиве остају непромењени.

Да би идеја била конкретнија, претпоставимо случај функције две променљиве: з = ф (к, и). Делимични дериват функције ф у односу на променљиву к израчунава се као обичан дериват у односу на к, али узимајући променљиву и као да је константа.

Слика 1. Функција ф (к, и) и њени парцијални деривати ∂ _к ф и ∂ _и ф у тачки П. (елаборирао Р. Перез са геогебром)

Делимична нотација деривата

Делимични оперативни дериват функције ф (к, и) на променљивој к означен је на било који од следећих начина:

У делимичним дериватима користи се симбол ∂ (врста заобљеног слова д које се такође назива Јацобијев д), за разлику од обичног деривата за једно-променљиве функције где се слово д користи за дериват.

Уопште речено, делимични дериват мултиваријантне функције, у односу на једну од њених променљивих, резултира новом функцијом у истим променљивим у оригиналној функцији:

∂ _к ф (к, и) = г (к, и)

∂ _и ф (к, и) = х (к, и).

Прорачун и значење делимичне деривације

Да бисте одредили брзину промене или нагиб функције за одређену тачку (к = а, и = б) у смеру паралелном са оси Кс:

1- Израчунава се функција ∂ _к ф (к, и) = г (к, и), узимајући обични дериват у променљивој к и остављајући променљиву и фиксну или константну.

2- Тада је вредност тачке к = а и и = б замењена у којој желимо да знамо стопу промене функције у смеру к:

{Нагиб у смеру к у тачки (а, б)} = ∂ _к ф (а, б).

3- Да бисте израчунали брзину промене смера и у координатној тачки (а, б), прво израчунајте ∂ _и ф (к, и) = х (к, и).

4- Тада је тачка (к = а, и = б) замењена у претходном резултату да би се добила:

{Нагиб у правцу и у тачки (а, б)} = ∂ _и ф (а, б)

Примери делимичних деривата

Неки примери делимичних деривата су следећи:

Пример 1

С обзиром на функцију:

ф (к, и) = -к ^ 2 - и ^ 2 + 6

Пронађите делимичне деривате функције ф у односу на променљиву к и променљиву и.

Решење:

∂ кф = -2к

∂ иф = -2и

Имајте на уму да је за израчунавање парцијалног деривата функције ф у односу на променљиву к изведен обичан дериват у односу на к, али променљива и је узета као да је константна. Слично томе, у прорачуну парцијалног деривата ф у односу на и, променљива к је узета као да је константа.

Функција ф (к, и) је површина која се назива параболоид приказан на слици 1 у окер боји.

Пример 2

Пронађите брзину промене (или нагиба) функције ф (к, и) из примера 1, у смеру оси Кс и осе И за тачку (к = 1, и = 2).

Решење: Да бисте пронашли косине у правцима к и и у датој тачки, једноставно замените вредности тачке у функцију ∂ _к ф (к, и) и у функцију ∂ _и ф (к, и):

∂ _к ф (1,2) = -2⋅ 1 = -2

∂ _и ф (1,2) = -2⋅ 2 = -4

Слика 1 приказује тангенцијалну линију (црвене боје) кривуље која је одређена пресеком функције ф (к, и) са равнином и = 2, нагиб ове линије је -2. Слика 1 такође показује тангенцијалну линију (зеленом бојом) кривуље која дефинише пресек функције ф са равнином к = 1; Ова линија има нагиб -4.

Вежбе

Вежба 1

Конусна чаша у одређеном тренутку садржи воду тако да површина воде има радијус р и дубину х. Али чаша има малу рупу на дну кроз коју се губи вода брзином од Ц кубних центиметара у секунди. Одредите брзину спуштања са водене површине у центиметрима у секунди.

Решење:

Пре свега, потребно је запамтити да је запремина воде у датом тренутку:

Запремина је функција две променљиве, радијуса р и дубине х: В (р, х).

Када се запремина мења инфинитезималном количином дВ, радијус р водене површине и дубина х воде такође се мењају у складу са следећим односом:

дВ = ∂ _р В др + ∂ _х В дх

Прелазимо на израчунавање парцијалних деривата В с обзиром на р и х респективно:

∂ _р В = ∂ _р (⅓ π р ^ 2 х) = ⅔ π рх

∂ _х В = ∂ _х (⅓ π р ^ 2 х) = ⅓ π р ^ 2

Даље, полупречник р и дубина х испуњавају следећи однос:

Подељивање оба члана на временску разлику дт даје:

дВ / дт = π р ^ 2 (дх / дт)

Али дВ / дт је запремина воде изгубљене у јединици времена за коју се зна да износи Ц центиметара у секунди, док је дх / дт брзина спуштања слободне површине воде, која ће се звати в. То јест, водена површина се у датом тренутку спушта брзином в (у цм / с) коју даје:

в = Ц / (π р ^ 2).

Претпоставимо да је као нумеричка примена р = 3 цм, х = 4 цм, а стопа цурења Ц је 3 цм ^ 3 / с. Тада је брзина спуштања површине у том тренутку:

в = 3 / (π 3 ^ 2) = 0,11 цм / с = 1,1 мм / с.

Вежба 2

Теорем Цлаираут-Сцхварз каже да ако је функција континуирана у својим независним варијаблама, а њени парцијални деривати у односу на независне варијабле су такође континуирани, тада се мешани деривати другог реда могу заменити. Проверите ову теорему за функцију

ф (к, и) = к ^ 2 и, то јест, мора бити тачно да је ф _ки ф = ∂ _ик ф.

Решење:

∂ _ки ф = ∂ _к (∂ _и ф), док је ∂ _ик ф = ∂ _и (∂ _к ф)

∂ _к ф = 2 ки; ∂ _и ф = к ^ 2

∂ _ки ф = ∂ _к (∂ _и ф) = 2к

∂ _ик ф = ∂ _и (∂ _к ф) = 2к

Доказано је да је Сцхварзова теорема постојала, будући да су функција ф и њени делимични деривати континуирани за све реалне бројеве.

Референце

1. Франк Аирес, Ј., Менделсон, Е. (2000). Калкулација 5ед. Мц Грав Хилл.
2. Леитхолд, Л. (1992). Прорачун аналитичком геометријом. ХАРЛА, СА
3. Пурцелл, ЕЈ, Варберг, Д. и Ригдон, СЕ (2007). Прорачун. Мексико: Пеарсон Едуцатион.
4. Саенз, Ј. (2005). Диференцијално рачунање. Хипотенусе.
5. Саенз, Ј. (2006). Интегрално рачунање. Хипотенусе.
6. Википедиа. Парцијални извод. Опоравак од: ес.википедиа.цом