ДЈЕЛОМИЧНЕ ФРАКЦИЈЕ: СЛУЧАЈЕВИ И ПРИМЈЕРИ - МАТХС - 2025

У парцијалне фракције су фракције настале полиноми у којима именилац може бити линеаран или квадратни полином и, поред тога, може бити подигнута на нешто енергије. Понекад када имамо рационалне функције врло је корисно да ову функцију напишемо као збир парцијалних фракција или једноставних фракција.

То је зато што на овај начин можемо боље функционисати овим функцијама, посебно у случајевима када је неопходно интегрисати поменуту апликацију. Рационална функција је једноставно квоцијент између два полинома и они могу бити правилни или неправилни.

Ако је степен полинома бројача мањи од називника, то се назива рационалном правилном функцијом; у супротном, позната је као неправилна рационална функција.

Дефиниција

Када имамо неисправну рационалну функцију, полином бројача можемо поделити на полином називника и на тај начин поново написати фракцију п (к) / к (к), следећи алгоритам поделе као т (к) + с (к) / к (к), где је т (к) полином, а с (к) / к (к), правилно рационална функција.

Делимични уломак је свака одговарајућа функција полинома, чији је називник облика (ак + б) ^н или (ак ² + бк + ц) ^н , ако полиномична осовина ² + бк + ц нема стварне корене и н је број природно.

Да би се преписала рационална функција у парцијалним фракцијама, прво што треба урадити је да именује називник к (к) као производ линеарних и / или квадратних фактора. Једном када се то учини, одређују се парцијалне фракције, које зависе од природе ових фактора.

Случајеви

Разматрамо неколико случајева одвојено.

Случај 1

Фактори к (к) су линеарни и ниједан се не понавља. Односно:

к (к) = (а ₁ к + б ₁ ) (а ₂ к + б ₂ )… (а _с к + б _с )

Не постоји линеарни фактор који је идентичан другом. Када се догоди овај случај, написаћемо:

п (к) / к (к) = А ₁ / (а ₁ к + б ₁ ) + А ₂ / (а ₂ к + б ₂ )… + А _с / (а _с к + б _с ).

Где су А ₁ , А ₂ , …, А _с константе које треба да се нађу.

Пример

Желимо рационалну функцију раставити на једноставне фракције:

(к - 1) / (к ³ + 3к ² + 2к)

Прелазимо на фактор називника, а то је:

к ³ + 3к ² + 2к = к (к + 1) (к + 2)

Онда:

(к - 1) / (к ³ + 3к ² + 2к) = (к - 1) / к (к + 1) (к + 2)

(к - 1) / к (к + 1) (к + 2) = А / к + Б / (к + 1) + Ц / (к + 2)

Примјењујући најмање уобичајени вишеструки, може се добити да:

к - 1 = А (к + 1) (к + 2) + Б (к + 2) к + Ц (к + 1) к.

Желимо да добијемо вредности константа А, Б и Ц, које се могу наћи заменом корена који поништавају сваки од термина. Замјеном 0 за к имамо:

0 - 1 = А (0 + 1) (0 + 2) + Б (0 + 2) 0 + Ц (0 + 1) 0.

- 1 = 2А

А = - 1/2.

Замјеном - 1 за к имамо:

- 1 - 1 = А (- 1 + 1) (- 1 + 2) + Б (- 1 + 2) (- 1) + Ц (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - Б

Б = 2.

Замјеном - 2 за к имамо:

- 2 - 1 = А (- 2 + 1) (- 2 + 2) + Б (- 2 + 2) (- 2) + Ц (- 2 + 1) (- 2).

–3 = 2Ц

Ц = –3/2.

На овај начин се добијају вредности А = –1/2, Б = 2 и Ц = –3/2.

Постоји још једна метода за добијање вредности А, Б и Ц. Ако је на десној страни једначине к - 1 = А (к + 1) (к + 2) + Б (к + 2) к + Ц (к +) 1) к комбинујемо изразе, имамо:

к - 1 = (А + Б + Ц) к ² + (3А + 2Б + Ц) к + 2А.

Пошто је ово једнакост полинома, имамо да коефицијенти на левој страни морају бити једнаки онима на десној страни. То резултира следећим системом једначина:

А + Б + Ц = 0

3А + 2Б + Ц = 1

2А = - 1

Решавајући овај систем једначина, добијамо резултате А = –1/2, Б = 2 и Ц = -3/2.

И на крају, заменом добијених вредности имамо следеће:

(к - 1) / к (к + 1) (к + 2) = - 1 / (2к) + 2 / (к + 1) - 3 / (2 (к + 2)).

Случај 2

Фактори к (к) су сви линеарни, а неки се понављају. Претпоставимо да је (ак + б) фактор који понавља „с“ времена; тада овом фактору одговара зброј «с» парцијалних фракција.

А _с / (ак + б) ^с + А _с-1 / (ак + б) ^с-1 +… + А ₁ / (ак + б).

Где су А _с , А _с-1 ,…, А ₁ константе које треба одредити. Следећим примером показаћемо како одредити ове константе.

Пример

Разградите у делимичне фракције:

(к - 1) / (к ² (к - 2) ³ )

Рационалну функцију пишемо као збир парцијалних фракција на следећи начин:

(к - 1) / (к ² (к - 2) ³ ) = А / к ² + Б / к + Ц / (к - 2) ³ + Д / (к - 2) ² + Е / (к - 2 ).

Онда:

к - 1 = А (к - 2) ³ + Б (к - 2) ³ к + Цк ² + Д (к - 2) к ² + Е (к - 2) ² к ²

Замјењујући 2 за к, имамо то:

7 = 4Ц, односно Ц = 7/4.

Замјеном 0 за к имамо:

- 1 = –8А или А = 1/8.

Замењујући ове вредности у претходној једначини и развијајући се, имамо следеће:

к - 1 = 1/8 (к ³ - 6к ² + 12к - 8) + Бк (к ³ - 6к ² + 12к - 8) + 7 / 4к ² + Дк ³ - 2Дк ² + Ек ² (к ² - 4к + 4)

к - 1 = (Б + Е) к ⁴ + (1/8 - 6Б + Д - 4Е) к ³ + (- ¾ + 12Б + 7/4 - 2Д + 4Е) к ² + (3/2 - 8Б) к - 1.

Изједначавањем коефицијената добијамо следећи систем једначина:

Б + Е = 0;

1 / 8-6Б + Д-4Е = 1;

- 3/4 + 12Б + 7/4 - 2Д + 4Е = 0

3/2 - 8Б = 0.

Решавајући систем, имамо:

Б = 3/16; Д = 5/4; Е = - 3/16.

За то морамо:

(к - 1) / (к ² (к - 2) ³ ) = (1/8) / к ² + (3/16) / к + (7/4) / (к - 2) ³ + (5 / 4) / (к - 2) ² - (3/16) / (к - 2).

Случај 3

Фактори к (к) су линеарни квадратни, без икаквих поновљених квадратних фактора. У овом случају ће квадратни фактор (ак ² + бк + ц) одговарати делимичном фракцији (Ак + Б) / (ак ² + бк + ц), при чему ће константе А и Б бити одређене.

Следећи пример показује како поступити у овом случају

Пример

Распоредите на једноставне фракције а (к + 1) / (к ³ - 1).

Прво прелазимо на фактор називника, што нам даје:

(к - 1) = (к - 1) (к + к +1).

Можемо приметити да је (к ² + к + 1) неодредиви квадратни полином; то јест, нема правих коријена. Његова декомпозиција у парцијалне фракције биће следећа:

(к + 1) / (к - 1) (к ² + к +1) = А / (к - 1) + (Бк + Ц) / (к ² + к +1)

Из тога добијамо следећу једначину:

к + 1 = (А + Б) к ² + (А - Б + Ц) к + (А - Ц)

Помоћу једнакости полинома добијамо следећи систем:

А + Б = 0;

А-Б + Ц = 1;

А-Ц = 1;

Из овог система имамо да је А = 2/3, Б = - 2/3 и Ц = 1/3. Замењујући, имамо то:

(к + 1) / (к - 1) (к ² + к +1) = 2/3 (к - 1) - (2к + 1) / 3 (к ² + к +1).

Случај 4

Коначно, случај 4 је онај у коме су фактори к (к) линеарни и квадратни, где се понављају неки од линеарних квадратних фактора.

У овом случају, ако је (ак ² + бк + ц) квадратни фактор који понавља „с“ времена, тада ће делимични удјел који одговара фактору (ак ² + бк + ц) бити:

(А ₁ к + Б) / (ак ² + бк + ц) +… + (А _с-1 к + Б _с-1 ) / (ак ² + бк + ц) ^с-1 + (А _с к + Б _с ) / (ак ² + бк + ц) ^с

Где су А _с , А _с-1 ,…, А и Б _с , Б _с-1 ,…, Б константе које треба одредити.

Пример

Следећу рационалну функцију желимо разградити у делимичне фракције:

(к - 2) / (к (к ² - 4к + 5) ² )

Пошто је к ² - 4к + 5 непомирљив квадратни фактор, сматрамо да је његова декомпозиција на парцијалне фракције дата следећим:

(к - 2) / (к (к ² - 4к + 5) ² ) = А / к + (Бк + Ц) / (к ² - 4к +5) + (Дк + Е) / (к ² - 4к +) 5) ²

Поједностављујући и развијајући, имамо:

к - 2 = А (к ² - 4к + 5) ² + (Бк + Ц) (к ² - 4к + 5) к + (Дк + Е) к

к - 2 = (А + Б) к ⁴ + (- 8А - 4Б + Ц) к ³ + (26А + 5Б - 4Ц + Д) к ² + (- 40А + 5Ц + Е) к + 25А.

Из наведеног имамо следећи систем једначина:

А + Б = 0;

- 8А - 4Б + Ц = 0;

26А + 5Б - 4Ц + Д = 0;

- 40А + 5Ц + Е = 1;

25А = 2.

При решавању система остаје нам:

А = - 2/25, Б = 2/25, Ц = - 8/25, Д = 2/5 и Е = - 3/5.

Заменом добијених вредности имамо:

(к - 2) / (к (к ² - 4к + 5) ² ) = -2 / 25к + (2к - 8) / 25 (к ² - 4к +5) + (2к - 3) / 5 (к ² - 4к + 5) ²

Апликације

Интегрално рачунање

Дјеломичне фракције се првенствено користе за проучавање интегралног прорачуна. Ево неколико примера како извести интеграле користећи делимичне фракције.

Пример 1

Желимо да израчунамо интеграл:

Можемо видети да је називник к (к) = (т + 2) ² (т + 1) сачињен од линеарних фактора где се један од њих понавља; То је разлог зашто смо у случају 2.

Морамо да:

1 / (т + 2) ² (т + 1) = А / (т + 2) ² + Б / (т + 2) + Ц / (т + 1)

Написујемо једначину и имамо:

1 = А (т + 1) + Б (т + 2) (т + 1) + Ц (т + 2) ²

Ако је т = - 1, имамо:

1 = А (0) + Б (1) (0) + Ц (1)

1 = Ц

Ако је т = - 2, даје нам:

1 = А (- 1) + Б (0) (- 1) + Ц (0)

А = - 1

Онда, ако је т = 0:

1 = А (1) + Б (2) (1) + Ц (2)

Замјена вриједности А и Ц:

1 = - 1 + 2Б + 4

1 = 3 + 2Б

2Б = - 2

Из горе наведеног имамо да је Б = - 1.

Интеграл смо поново написали као:

Настављамо са решавањем методе супституције:

То је резултат:

Пример 2

Решите следећи интеграл:

У овом случају можемо израчунати ак (к) = к ² - 4 као к (к) = (к - 2) (к + 2). Јасно нам је у случају 1. Дакле:

(5к - 2) / (к - 2) (к + 2) = А / (к - 2) + Б / (к + 2)

Може се изразити и као:

5к - 2 = А (к + 2) + Б (к - 2)

Ако је к = - 2, имамо:

- 12 = А (0) + Б (- 4)

Б = 3

А ако је к = 2:

8 = А (4) + Б (0)

А = 2

Дакле, остаје нам решавање датог интеграла еквивалентно решавању:

То нам даје као резултат:

Пример 3

Решите интеграл:

Имамо к (к) = 9к ⁴ + к ² , који можемо да факторисемо у к (к) = к ² (9к ² + 1).

Овог пута имамо понављани линеарни фактор и квадратни фактор; то јест, ми смо у случају 3.

Морамо да:

1 / к ² (9к ² + 1) = А / к ² + Б / к + (Цк + Д) / (9к ² + 1)

1 = А (9к ² + 1) + Бк (9к ² + 1) + Цк ² + Дк ²

Груписањем и коришћењем једнаких полинома имамо:

1 = (9Б + Ц) к + (9А + Д) к + Бк + А

А = 1;

Б = 0;

9А + Д = 0;

9Б + Ц = 0

Из овог система једначина имамо:

Д = - 9 и Ц = 0

На овај начин имамо:

Решавајући горе наведено, имамо:

Закон масовне акције

Занимљива примена парцијалних фракција примењених на интегрални рачун налази се у хемији, тачније у закону масовног деловања.

Претпоставимо да имамо две супстанце, А и Б, које се спајају и формирају супстанцу Ц, тако да је дериват количине Ц у односу на време пропорционалан производу количине А и Б у датом тренутку.

Закон масовне акције можемо да изразимо на следећи начин:

У овом изразу α је почетни број грама који одговара А и β почетни број грама који одговара Б.

Даље, р и с представљају број грама А и Б респективно који се комбинују да би добили р + с грама Ц. Са своје стране, к представља број грама материје Ц у тренутку т, а К је константа пропорционалности. Горња једначина може се преписати као:

Извршите следећу промену:

Имамо да једначина постаје:

Из овог израза можемо добити:

Ако се аб, парцијалне фракције могу користити за интеграцију.

Пример

Узмимо за пример супстанцу Ц која настаје комбиновањем материје А са Б на такав начин да се испуњава закон масе тамо где су вредности а и б 8 и 6. Дајте једначину која нам даје вредност грама Ц као функцију времена.

Замењујући вредности у датом закону о маси, имамо:

Код одвајања променљивих имамо:

Овде се 1 / (8 - к) (6 - к) може записати као збир парцијалних фракција, као што следи:

Дакле, 1 = А (6 - к) + Б (8 - к)

Ако заменимо 6 за к, имамо Б = 1/2; и замјењујући 8 за к, имамо А = - 1/2.

Интегришући се делимичним фракцијама имамо:

То нам даје као резултат:

Диференцијалне једначине: логистичка једначина

Друга примјена која се може дати дјеломичним фракцијама је у логичкој диференцијалној једначини. У једноставним моделима имамо да је стопа раста популације пропорционална његовој величини; односно:

Овај је случај идеалан и сматра се реалним док се не догоди да ресурси доступни у систему нису довољни за подршку становништва.

У овим ситуацијама, најразумније је мислити да постоји максимални капацитет, који ћемо назвати Л, да систем може да одржи и да је стопа раста пропорционална величини становништва помножено са доступном величином. Овај аргумент доводи до следеће диференцијалне једначине:

Овај израз се назива логичка диференцијална једначина. То је диференцијална једначина која се може одвојити и која се може решити методом делимичне интеграције фракције.

Пример

Пример би био узети у обзир популација која расте према следећој логистичкој диференцијалној једначини и '= 0.0004и (1000 - и), чији су почетни подаци 400. Желимо знати величину популације у тренутку т = 2, где се мери т у годинама.

Ако пишемо и 'са Леибнизовом нотацијом као функцијом која зависи од т, имамо:

Интеграл са леве стране може се решити методом делимичне интеграције фракције:

Ову последњу једнакост можемо поново написати на следећи начин:

- Замјеном и = 0 имамо да је А једнак 1/1000.

- Ако заменимо и = 1000, Б је једнак 1/1000.

Са овим вредностима интеграл је следећи:

Решење је:

Коришћење почетних података:

Када рашчистимо и имамо:

Онда имамо то код т = 2:

Закључно, након 2 године број становништва је приближно 597,37.

Референце

1. А, РА (2012). Математика 1. Универсидад де лос Андес. Савет за публикације
2. Цортез, И., Санцхез, Ц. (нд). 801 Ријешени интеграли. Национални експериментални универзитет у Тацхири.
3. Леитхолд, Л. (1992). Прорачун аналитичком геометријом. ХАРЛА, СА
4. Пурцелл, ЕЈ, Варберг, Д. и Ригдон, СЕ (2007). Прорачун. Мексико: Пеарсон Едуцатион.
5. Саенз, Ј. (други). Интегрално рачунање. Хипотенусе.