ТЕОРЕМ ПОСТОЈАЊА И ЈЕДИНСТВЕНОСТИ: ДОКАЗ, ПРИМЕРИ И ВЕЖБЕ - МАТХС - 2025

Постојање и јединственост теорема успоставља неопходне и довољне услове за диференцијална једначина првог реда, са датом почетно стање, да има решење и за то решење да буде једини.

Међутим, теорема не даје никакву технику или индикацију како пронаћи такво решење. Теорем постојања и јединствености такође се проширује на диференцијалне једнаџбе вишег реда са почетним условима, што је познато и као Кошијев проблем.

Слика 1. Приказана је диференцијална једначина са почетним стањем и његовим решењем. Теорем постојања и јединствености гарантује да је то једино могуће решење.

Формална изјава о постојању и јединствености теорема је следећа:

„За диференцијалну једначину и '(к) = ф (к, и) са почетним условом и (а) = б, постоји најмање једно решење у правоугаоном подручју КСИ равни која садржи тачку (а, б), ако ф (к, и) је континуиран у том региону. А ако је делимична деривација ф у односу на и: г = ∂ф / ∂и континуирана у истој правокутној регији, тада је решење јединствено у комшилуку тачке (а, б) која се налази у региону континуитета фи г. "

Корисност ове теореме прво лежи у сазнању која су подручја КСИ равни у којој решење може постојати, а такође, знајући да ли је пронађено решење једино могуће или постоје друге.

Имајте на уму да у случају да услов јединствености није задовољен, теорема не може предвидети колико решења укупно има проблем Коши: можда је то једно, два или више.

Доказ постојања и јединствености теорема

Слика 2. Цхарлес Емиле Пицард (1856-1941) је заслужан за један од првих доказа теорема постојања и јединствености. Извор: Викимедиа Цоммонс.

За ову теорему су позната два могућа доказа, један је доказ Цхарлеса Емиле Пицарда (1856-1941), а други је заслужан Гиусеппе Пеано (1858-1932) заснован на радовима Аугустина Лоуиса Цауцхија (1789-1857) .

Значајно је да су у доказу ове теореме учествовали најбриљантнији математички умови из деветнаестог века, па се може интуитивно закључити да ниједан од њих није једноставан.

Да би се теорема формално доказала, потребно је прво успоставити низ напреднијих математичких концепата, попут функција типа Липсцхитз, Банацхових простора, теорема постојања Царатхеодори и неколико других, који су изван оквира чланка.

Велики део диференцијалних једначина којима се бави физика бави се непрекидним функцијама у областима које нас занимају, па ћемо се ограничити на приказивање теореме у једноставним једначинама.

Примери

- Пример 1

Размотримо следећу диференцијалну једначину са почетним условом:

и '(к) = - и; са и (1) = 3

Постоји ли решење за овај проблем? Да ли је то једино могуће решење?

Одговори

На првом месту се процењује постојање решења диференцијалне једначине и да оно такође испуњава почетни услов.

У овом примеру ф (к, и) = - и услов постојања захтева сазнање да ли је ф (к, и) непрекидан у подручју равнине КСИ која садржи тачку координата к = 1, и = 3.

Али ф (к, и) = - и је афинска функција, која је континуирана у домену реалних бројева и постоји у читавом опсегу реалних бројева.

Стога се закључује да је ф (к, и) непрекидна у Р ² , па теорема гарантује постојање најмање једног решења.

Знајући то, потребно је проценити да ли је решење јединствено или, напротив, има их више. За то је потребно израчунати парцијални дериват ф у односу на променљиву и:

Затим г (к, и) = -1 што је функција константа, која је такође дефинисан за све Р ² , а такође континуирано ту. Из тога произлази да теорема постојања и јединствености гарантује да овај почетни проблем има јединствено решење, иако нам не говори о чему се ради.

- Пример 2

Размотримо следећу редовну диференцијалну једначину првог реда са почетним условом:

и '(к) = 2√и; и (0) = 0.

Постоји ли решење и (к) за овај проблем? Ако је одговор да, утврдите да ли постоји један или више њих.

Одговорити

Сматрамо да је функција ф (к, и) = 2√и. Функција ф је дефинисана само за и≥0, јер знамо да негативном броју недостаје прави корен. Надаље ф (к, и) је континуирана у горњој половини равни Р ² укључујући Кс осе, тако да постојање и јединственост теорема гарантује најмање једно решење у наведеном региону.

Сада је почетни услов к = 0, и = 0 је на ивици региона. Затим узмемо делимичну деривацију ф (к, и) у односу на и:

∂ф / ∂и = 1 / √и

У овом случају функција није дефинисана за и = 0, тачно тамо где је иницијално стање.

Шта нам говори теорема? То нам говори да иако знамо да постоји најмање једно решење у горњој половини равнине оси Кс, укључујући и оси Кс, пошто јединствени услов није испуњен, не постоји гаранција да ће постојати јединствено решење.

То значи да може постојати једно или више решења у подручју континуитета ф (к, и). И као и увек, теорема нам не говори шта би могли бити.

Решене вежбе

- Вежба 1

Решите проблем са Кошијем у Примеру 1:

и '(к) = - и; са и (1) = 3.

Пронађите функцију и (к) која задовољава диференцијалну једначину и почетни услов.

Решење

У Примеру 1 утврђено је да овај проблем има решење и такође је јединствен. Да бисте пронашли решење, прво што треба приметити је да је то диференцијална једначина првог степена раздвојивих променљивих, која је написана на следећи начин:

Подела између и у оба члана како бисмо одвојили променљиве које имамо:

Неограничени интеграл се примењује у оба члана:

Решавањем неодређених интеграла имамо:

где је Ц константа интеграције која је одређена почетним условом:

Замјеном вриједности Ц и преуређивањем остаје:

Примјена следећег својства логаритама:

Горњи израз може се преписати овако:

Експоненцијална функција са базом е у оба члана примењује се за добијање:

и / 3 = е ^{(1 - к)}

Које је еквивалентно:

и = 3е е ^-к

Ово је јединствено решење једначине и '= -и са и (1) = 3. Графикон овог решења приказан је на слици 1.

- Вежба 2

Пронађите два решења проблема постављеног у Примеру 2:

и '(к) = 2√ (и); и (0) = 0.

Решење

То је такође једначина одвојивих променљивих која, написана у различитом облику, изгледа овако:

ди / √ (и) = 2 дк

Узимајући неодређени интеграл у оба члана остаје:

2 √ (и) = 2 к + Ц

Пошто знамо да је и≥0 у региону решења имамо:

и = (к + Ц) ²

Али пошто је почетни услов к = 0, и = 0 мора бити испуњено, тада је константа Ц једнака нули и остаје следеће решење:

и (к) = к ² .

Али ово решење није јединствено, функција и (к) = 0 је такође решење постављеног проблема. Теорем постојања и јединствености који је примењен за овај проблем у Примеру 2 већ је предвиђао да може да постоји више од једног решења.

Референце

1. Цоддингтон, Еарл А .; Левинсон, Норман (1955), Теорија уобичајених диференцијалних једначина, Нев Иорк: МцГрав-Хилл.
2. Математичка енциклопедија. Теорем Цауцхи-Липсцхитз. Опоравак од: енцицлопедиаофматх.орг
3. Линделоф, Сур-Апликација де ла методе дес апроксимација сукцесива аук екуатионс дифферентиеллес ординаирес ду премиер ордре; Цомптес рендус хебдомадаирес дес сеанцес де л'Ацадемие дес Сциенцес. Вол. 116, 1894, стр. 454–457. Опоравак од: галлица.бнф.фр.
4. Википедиа. Пицард-ова метода узастопних апроксимација. Опоравак од: ес.википедиа.цом
5. Википедиа. Пицард-Линделоф теорема. Опоравак од: ес.википедиа.цом.
6. Зилл, Д. 1986. Елементарне диференцијалне једначине са апликацијама.