ТРЕНУТАК ИНЕРЦИЈЕ: ФОРМУЛЕ, ЈЕДНАЏБЕ И ПРИМЈЕРИ ИЗРАЧУНАВАЊА - ФИЗИЧКИ - 2025

Момент инерције од крутог тела у односу на одређену осу ротације представља његову отпорност на мења угаона брзина око поменуте осе. Пропорционална је маси, а такође и месту ротације осе, јер се тело, зависно од своје геометрије, може лакше окретати око одређених осе него код других.

Претпоставимо велики објект (који се састоји од много честица) који се може закретати око осе. Претпоставимо да сила Ф делује тангенцијално примењена на елемент масе Δм _и , који ствара обртни момент или момент, дат τ _нет = ∑ р _и к Ф _и . Вектор р _и је положај Δм _и (види слику 2).

Слика 1. Тренуци инерције различитих фигура. Извор: Викимедиа Цоммонс.

Овај момент је окомит на равнину ротације (правац + к = напуштање папира). Пошто су вектор силе и радијални положај увек окомити, попречни производ остаје:

τ _нет = ∑ Ф _и р _и к = ∑ (Δм _и а _и ) р _и к = ∑ Δм _и (а _и р _и ) к

Слика 2. Честица која припада окретној чврстој твари у ротацији. Извор: Серваи, Р. 2018. Физика за науку и инжењерство. Свезак 1. Ценгаге Леарнинг.

Убрзање а _и представља тангенцијалну компоненту убрзања, јер радијално убрзање не доприноси обртном моменту. Као функцију угаоног убрзања α, можемо назначити да:

Због тога нето обртни момент изгледа овако:

τ _нето = ∑ Δм _и (α р _и ² ) к = ( ∑ р _и ² Δм _и ) α к

Угаоно убрзање α исто је за цео објекат, па на њега не утиче подпис „и“ и може напустити сажето, што је тачно тренутак инерције објекта који је симболизован словом И:

Ово је тренутак инерције дискретне расподјеле масе. Када је дистрибуција континуирана, збрајање се замењује с интегралом и Δм постаје диференцијална маса дм. Интеграл се врши преко целог објекта:

Јединице за тренутак инерције у међународном систему СИ су кг км ² . То је скаларна и позитивна количина, јер је производ масе и квадрата растојања.

Примери израчуна

Проширени објект, попут шипке, диска, сфере или другог, чија је густина ρ константна и знајући да је густина однос масе и запремине, разлика масе дм пише се као:

Супституирајући у интегралу за тренутак инерције, имамо:

Ово је општи израз, важи за тродимензионални објект, чији волумен В и позиција р су функције просторних координата к, и и з. Имајте на уму да је константна, густина је ван интеграл.

Густина ρ је такође позната као обимна густина, али ако је објекат врло раван, попут лима или врло танак и узак попут штапа, могу се користити и други облици густине, погледајмо:

- За веома танки лим густоћа која се користи је σ, површинска густина (маса по јединици површине) и дА је разлика у површини.

- А ако је то танка трака, где је релевантна само дужина, користи се линеарна густина масе λ и разлика у дужини, према оси која се користи као референца.

У следећим примерима сви се објекти сматрају чврстим (нису деформабилни) и имају једнаку густоћу.

Тренутак инерције танке шипке у односу на осу која пролази кроз њен центар

Овде ћемо израчунати инерцијални тренутак танке, круте, хомогене шипке дужине Л и масе М, у односу на осовину која пролази кроз медијум.

Прво, потребно је успоставити систем координата и изградити лик одговарајуће геометрије, као што је овај:

Слика 3. Геометрија за израчунавање инерције момента танког штапа у односу на вертикалну ос која пролази кроз његов центар. Извор: Ф. Запата.

Ос к дуж траке и и-оса изабрани су као оси ротације. Процедура успостављања интеграла такође захтева избор масеног масе на траци, званог дм, који има диференцијалну дужину дк и налази се у произвољном положају к, у односу на средиште к = 0.

Према дефиницији линеарне густине масе λ:

Пошто је густина једнолика, што важи за М и Л, важи и за дм и дк:

С друге стране, масени елемент је у положају к, тако да супституцијом ове геометрије у дефиницији имамо одређени интеграл, чија су ограничења крајеви шипке према координатном систему:

Замјена линеарне густине λ = М / Л:

Да бисте пронашли тренутак инерције шипке у односу на другу осовину ротације, на пример ону која пролази кроз једну од њених крајности, можете користити Стеинерову теорему (видети вежбу решену на крају) или извршити директно израчунавање слично ономе приказаном овде, али модификујући геометрију на одговарајући начин.

Тренутак инерције диска у односу на осу која пролази кроз његов центар

Веома танак диск занемариве дебљине је равна фигура. Ако је маса равномерно распоређена по целој површини подручја А, густина масе σ је:

И дм и дА одговарају маси и површини диференцијалног прстена приказаног на слици. Претпоставићемо да се цео склоп ротира око оси и.

Можете замислити да је диск састављен од многих концентричних прстенова радијуса р, сваки са својим инертним моментом. Додајући прилоге свих прстенова све док не досегне радијус Р, имаћемо укупан инерцијални тренутак диска.

Слика 4. Геометрија за израчунавање инерцијалног момента диска у односу на аксијалну ос. Извор: Ф. Запата.

Где М представља целокупну масу диска. Површина диска зависи од његовог радијуса р као:

Извођење у односу на р:

Замјена горе наведеног у дефиницији И:

Замјеном σ = М / (π.Р ² ) добивамо :

Тренутак инерције чврсте сфере око пречника

Сфера радијуса Р може се сматрати низом дискова наслаганих један на другом, где сваки диск бесконачне минималне масе дм, радијуса р и дебљине дз има инерцијални тренутак дат од:

Да бисмо пронашли овај диференцијал, једноставно смо узели формулу из претходног одељка и заменили М и Р за дм и р, респективно. Диск попут овог може се видети у геометрији на слици 5.

Слика 5. Геометрија за израчунавање инерцијалног момента чврсте сфере полупречника Р у односу на осовину која пролази кроз пречник. Извор: Ф. Запата.

Додавањем свих бесконачно минималних инертних вредности сложених дискова добија се укупни инертни тренутак сфере:

Које је еквивалентно:

Да бисте решили интеграл, потребно је дм на одговарајући начин изразити. Као и увек, то се постиже из густине:

Запремина диференцијалног диска је:

Висина диска је дебљина дз, док је површина базе πр ² , дакле:

А замјена у предложеном интегралу изгледала би овако:

Пре него што се интегрише, мора се приметити да р - радијус диска - зависи од з и Р - радијус сфере - као што се види на слици 5. Коришћење питагорејске теореме:

Што нас води до:

Да бисмо се интегрисали у читаву сферу, приметимо да з варира између –Р и Р, дакле:

Знајући да се ρ = М / В = М / коначно поједностављује након поједностављења:

Инерција чврстог цилиндра у односу на аксијалну ос

За овај се предмет користи метода слична оној која се користи за сферу, само што је овај пут лакше ако се замисли да цилиндар буде направљен од цилиндричних шкољки с радијусом р, дебљином др и висином Х, као да су слојеви лука. .

Слика 6. Геометрија за израчунавање инерцијалног момента чврстог цилиндра полупречника Р у односу на аксијалну ос. Извор: Серваи, Р. 2018. Физика за науку и инжењерство. Волуме 1. Ценгаге.

Запремински дВ цилиндричног слоја је:

Стога је маса шкољке:

Овај израз је супституисан у дефиницији инерцијалног момента:

Горња једнаџба указује да инерцијални момент цилиндра не зависи само од његове дужине, већ само од његове масе и радијуса. Ако би се Л променио, тренутак инерције око аксијалне осе остао би исти. Из овог разлога, И цилиндар се поклапа са оним раније израчунатог танког диска.

Тренутак инерције правоугаоног лима у односу на ос која пролази кроз његов центар

Хоризонтална оса и је изабрана као ос ротације. Доња слика приказује геометрију потребну за интеграцију:

Слика 7. Геометрија за израчунавање инерцијалног момента правоугаоне плоче у односу на ос паралелну са листом и пролази кроз његов центар. Извор: Ф. Запата.

Црвени елемент означен црвеном бојом је правоугаоног облика. Његова површина је основна к висина, дакле:

Стога је разлика масе:

Што се тиче удаљености од елемента подручја до оси ротације, увек је з. Све ово замјењујемо у интегралу тренутка инерције:

Сада је густина површинске масе σ замењена са:

И дефинитивно изгледа овако:

Имајте на уму да је попут танке траке.

Тренутак инерције квадратног лима у односу на ос која пролази кроз његов центар

За квадрат са страном Л, у претходном изразу који важи за правоугаоник, једноставно замените вредност б за вредност Л:

Теореми тренутка инерције

Постоје две посебно корисне теореме за поједностављење израчунавања инертних тренутака у односу на остале осе, које би у супротном могло бити тешко пронаћи због недостатка симетрије. Те теореме су:

Стеинерова теорема

Назван још и теоремом паралелних осе, повезује инерцијални тренутак у односу на неку осовину са другом која пролази кроз средиште масе предмета, све док су осе паралелне. Да бисте га применили, потребно је знати удаљеност Д између обе осе и наравно масу М објекта.

Нека је _{з з} моменат инерције неког предмета продуженог с обзиром на ос з, И _ЦМ инерцијалног тренутка у односу на ос која пролази кроз средиште масе (ЦМ) поменутог објекта, тада се постиже да:

Или у нотацији следеће слике: И _{з '} = И _з + Мд ²

Слика 8. Стеинерова теорема или паралелне осе. Извор: Викимедиа Цоммонс. Јацк Сее

Теорема окомитих осовина

Ова теорема се примењује на равне површине и иде овако: тренутак инерције равног објекта око осе која је окомита на њу је збир момента инерције око две осе окомите на прву ос:

Слика 9. Теорем окомитих оси. Извор: Ф. Запата.

Ако предмет има симетрију тако да су И _к и И _и једнаки, тачно је да:

Вежба решена

Пронађите тренутак инерције шипке у односу на осовину која пролази кроз један од њених крајева, као што је приказано на слици 1 (доле и десно) и на слици 10.

Слика 10. Момент инерције хомогеног шипка око осе која пролази кроз један крај. Извор: Ф. Запата.

Решење:

Већ имамо момент инерције шипке око осе која пролази кроз њен геометријски центар. Пошто је трака хомогена, њено средиште масе је у том тренутку, тако да ће ово бити наша И _ЦМ за примену Стеинерове теореме.

Ако је дужина шипке Л, осовина з је на удаљености Д = Л / 2, дакле:

Референце

1. Бауер, В. 2011. Физика за инжењерство и науке. Свезак 1. Мц Грав Хилл. 313-340
2. Рек, А. 2011. Основе физике. Пеарсон. 190-200.
3. Теорема паралелне осе. Опоравак од: хиперпхисицс.пхи-астр.гсу.еду.
4. Серваи, Р. 2018. Физика за науку и инжењерство. Волуме 1. Ценгаге.
5. Универзитет у Севиљи. Инерција сферних чврстих тела. Опоравак од: лаплаце.ус.ес.
6. Универзитет у Севиљи. Тренутак инерције система честица. Опоравак од: лаплаце.ус.ес.
7. Википедиа. Теорема паралелне осе. Опоравак од: ен.википедиа.орг