СЛОЖЕНИ БРОЈЕВИ: СВОЈСТВА, ПРИМЕРИ, ОПЕРАЦИЈЕ - МАТХС - 2025

У комплексни бројеви су нумерички скуп покрива реалне бројеве и све корене полинома, укључујући пари корена негативних бројева. Ти корени не постоје у скупу реалних бројева, али у сложеним бројевима постоји решење.

Сложен број састоји се од стварног дела и дела који се назива „имагинарним“. Стварни део назива се, на пример, а имагинарни део иб, са реалним бројевима а и б и „и“ као имагинарна јединица. На тај начин сложен број има облик:

Слика 1. - Биномни приказ сложеног броја у смислу стварног дела и имагинарног дела. Извор: Пикабаи.

Примери сложених бројева су 2 - 3и, -πи, 1 + (1/2) и. Пре него што оперирамо са њима, да видимо одакле замишљена јединица и потиче, разматрајући ову квадратну једначину:

к ² - 10к + 34 = 0

Где су а = 1, б = -10 и ц = 34.

Када примењујемо резолуцијску формулу за одређивање решења, налазимо следеће:

Како одредити вредност √-36? Не постоји стварни број који квадратом ствара негативну количину. Тада се закључује да ова једначина нема правих решења.

Међутим, можемо ово написати:

√-36 = √-6 ² = √6 ² (-1) = 6√-1

Ако одредимо одређену вредност к такву:

к ² = -1

Тако:

к = ± √-1

И горња једначина би имала решење. Стога је замишљена јединица дефинисана као:

и = √-1

И тако:

√-36 = 6и

Многи математичари из антике радили су на решавању сличних проблема, посебно ренесансни Гироламо Цардано (1501-1576), Ницоло Фонтана (1501-1557) и Раффаеле Бомбелли (1526-1572).

Годинама касније Рене Десцартес (1596-1650) је у свом примеру назвао количине „имагинарним“, попут √-36. Из тог разлога √-1 је познат као имагинарна јединица.

Својства сложених бројева

-Скуп сложених бројева означен је са Ц и укључује стварне бројеве Р и имагинарне бројеве Им. Бројеви су представљени у Веннов дијаграму, као што је приказано на следећој слици:

Слика 2. Веннов дијаграм скупова бројева. Извор: Ф. Запата.

-Сва сложен број састоји се од стварног и имагинарног дела.

-Када је замишљени део сложеног броја 0, то је чисто стварни број.

-Ако је стварни део сложеног броја 0, тада је број чисто замишљен.

-Два сложена броја су једнака ако су њихови стварни и имагинарни део исти.

-С комплексним бројевима обављају се познате операције сабирања, одузимања, множења, производа и унапређења, што резултира додатним сложеним бројем.

Репрезентација сложених бројева

Сложени бројеви могу бити представљени на различите начине. Ево главних:

- Биномни облик

То је облик дат на почетку, где је з сложен број, а стварни део, б је имагинарни део, а и је замишљена јединица:

Или такође:

Један од начина да се сложи сложени број је кроз сложену равнину приказану на овој слици. Замишљена ос Им је вертикална, док је права осовина хоризонтална и означена је као Ре.

Сложени број з представљен је у овој равнини као тачка координата (к, и) или (а, б), као што се врши са тачкама стварне равни.

Удаљеност од почетка до тачке з је модул комплексног броја, означен као р, док је φ угао који р прави са правом осе.

Слика 3. Приказ сложеног броја у сложеној равнини. Извор: Викимедиа Цоммонс.

Ово представљање је уско повезано са представницима вектора у стварном плану. Вредност р одговара модулу комплексног броја.

- Поларни облик

Поларни облик састоји се од изражавања сложеног броја давањем вредности р и φ. Ако погледамо слику, вредност р одговара хипотенузи десног троугла. Ноге вриједе а и б, или к и и.

Из биномног или биномног облика можемо прећи на поларни облик тако што ћемо:

Угао φ је онај који формира сегмент р са хоризонталном осом или имагинарном оси. Познат је као аргумент сложеног броја. На овај начин:

Аргумент има бесконачне вредности, узимајући у обзир да сваки пут када скренете окрет, који вреди 2π радијана, р поново заузима исти положај. На овај општи начин, аргумент з, означен као Арг (з), изражава се овако:

Где је к цели број и користи се за означавање броја окренутих завоја: 2, 3, 4…. Знак означава смер ротације, ако је у смеру казаљке на сату или у супротном смеру.

Слика 4. Поларни приказ сложеног броја у сложеној равнини. Извор: Викимедиа Цоммонс.

А ако желимо да пређемо из поларног облика у биномни облик, користимо тригонометријске омјере. Из претходне слике можемо видети да:

к = р цос φ

и = р син φ

На овај начин з = р (цос φ + и син φ)

Које је скраћено овако:

з = р цис φ

Примери сложених бројева

Следећи сложени бројеви су наведени у биномном облику:

а) 3 + и

б) 4

д) -6и

И то у облику наређеног пара:

а) (-5, -3)

б) (0, 9)

ц) (7.0)

Коначно, ова група је дата у поларном или тригонометријском облику:

а) √2 цис 45º

б) √3 цис 30º

ц) 2 цис 315º

Чему служе?

Корисност сложених бројева надилази решавање квадратне једначине која је приказана на почетку, јер су они од суштинског значаја у области инжењерства и физике, посебно у:

-Проучавање електромагнетних таласа

-Анализа наизменичних струја и напона

- Моделирање свих врста сигнала

-Теорија релативитета, где се време претпоставља као имагинарна величина.

Операције сложеног броја

Са сложеним бројевима можемо извести све операције које се обављају са стварним. Неке је лакше учинити ако бројеви долазе у биномном облику, као што су сабирање и одузимање. Супротно томе, множење и дељење су једноставније ако се изводе са поларним обликом.

Погледајмо неколико примера:

- Пример 1

Додајте з ₁ = 2 + 5и и з ₂ = -3 -8и

Решење

Прави делови се додају одвојено од имагинарних делова:

з ₁ + з ₂ = (2 + 5и) + (-3 -8и) = -1 -3и

- Пример 2

Помножите з ₁ = 4 цис 45º и з ₂ = 5 цис 120º

Решење

Може се показати да је продукт два сложена броја у поларном или тригонометријском облику дат:

з ₁ . з ₂ = р ₁ .р ₂ цис (φ ₁ + φ ₂ )

Према овоме:

з ₁ . з ₂ = (4 × 5) цис (45 + 120) = 20 цис 165 °

Апликација

Једноставна примјена сложених бројева је пронаћи све коријене полиномне једнаџбе попут оне приказане на почетку чланка.

У случају једначине к ² - 10к + 34 = 0, применом резолуцијске формуле добијамо:

Стога су решења следећа:

к ₁ = 5 + 3и

к ₂ = 5 - 3и

Референце

1. Еарл, Р. Сложени бројеви. Опоравак од: матхс.ок.ац.ук
2. Фигуера, Ј. 2000. Математика 1. Разнолико. ЦО-БО издања.
3. Хоффманн, Ј. 2005. Избор тема из математике. Монфорт Публицатионс.
4. Јименез, Р. 2008. Алгебра. Прентице Халл.
5. Википедиа. Комплексни бројеви. Опоравак од: ен.википедиа.орг