ТЕХНИКЕ БРОЈАЊА: ТЕХНИКЕ, АПЛИКАЦИЈЕ, ПРИМЕРИ, ВЕЖБЕ - ДУДАС - 2025

У технике бројање су низ метода вјероватноће да рачунају број могућих аранжмана у оквиру скупа или више сетова објеката. Они се користе када ручно обављање рачуна постаје компликовано због великог броја објеката и / или променљивих.

На пример, решење овог проблема је врло једноставно: замислите да ваш шеф тражи од вас да пребројите најновије производе који су стигли у последњих сат времена. У овом случају, можете пребројати производе један по један.

Међутим, замислите да је проблем у овоме: ваш шеф тражи да рачунате колико група од 5 производа исте врсте може бити формирано са онима који су стигли у последњих сат времена. У овом случају, израчунавање је компликовано. За ову врсту ситуације користе се такозване технике бројања.

Ове технике су различите, али најважније су подељене у два основна принципа, а то су мултипликативни и адитивни; пермутације и комбинације.

Мултипликативни принцип

Апликације

Мултипликативни принцип, заједно са адитивом, основни су за разумевање рада техника бројања. У случају мултипликативе, састоји се од следећег:

Замислимо активност која укључује одређени број корака (означавамо укупно као "р"), при чему се први корак може обавити на Н1 начин, други корак у Н2, а корак "р" на Нр начине. У овом се случају активност може извести из броја облика који су резултат ове операције: Н1 к Н2 к ……… .к Нр облика

Зато се овај принцип назива мултипликативним, и подразумева да се сваки корак који је потребан за обављање активности мора изводити један за другим.

Пример

Замислимо особу која жели да изгради школу. Да бисте то учинили, узмите у обзир да се база зграде може изградити на два различита начина, цемент или бетон. Што се тиче зидова, они могу бити од адобе, цемента или цигле.

Што се тиче крова, може бити израђен од цемента или поцинкованог лима. Коначно, коначна слика може се извршити само на један начин. Питање које се поставља је следеће: Колико начина мора да изгради школу?

Прво размотримо број корака који би били база, зидови, кров и боја. Укупно 4 корака, дакле р = 4.

Следеће је листа Н:

Н1 = начини за изградњу базе = 2

Н2 = начини за изградњу зидова = 3

Н3 = начини израде крова = 2

Н4 = начини сликања = 1

Стога би се број могућих облика израчунао помоћу горе описане формуле:

Н1 к Н2 к Н3 к Н4 = 2 к 3 к 2 к 1 = 12 начина школовања.

Принцип адитива

Апликације

Овај принцип је врло једноставан и састоји се у чињеници да, у случају постојања више алтернатива за исту активност, могући начини састоје се од зброја различитих могућих начина спровођења свих алтернатива.

Другим речима, ако желимо да спроведемо активност са три алтернативе, где се прва алтернатива може извршити на М начин, друга на Н начина, а последња на В начин, активност се може извршити на: М + Н + ……… + В облици.

Пример

Замислимо да овај пут особа која жели да купи тениски рекет. Да бисте то учинили, имате три марке које можете изабрати: Вилсон, Баболат или Хеад.

Када одете у продавницу видите да се Вилсон рекет може купити са дршком две различите величине, Л2 или Л3 у четири различита модела и да се може нанизати или откопчати.

Рекет Баболат, с друге стране, има три ручке (Л1, Л2 и Л3), постоје два различита модела и могу се нанизати или откопчати.

Главни рекет са своје стране доступан је само са једном ручицом, Л2, у два различита модела и само откопчан. Питање је: на колико начина та особа мора да купи свој рекет?

М = Број начина на који се бира Вилсон рекет

Н = Број начина за одабир рекета Баболат

В = Број начина на који се бира главни рекет

Изводимо принцип мултипликатора:

М = 2 к 4 к 2 = 16 облика

Н = 3 к 2 к 2 = 12 начина

В = 1 к 2 к 1 = 2 начина

М + Н + В = 16 + 12 + 2 = 30 начина да изаберете рекет.

Да бисте знали када треба користити мултипликативни принцип и адитив, морате само да погледате да ли активност има низ корака које треба извести, а ако постоји неколико алтернатива, адитив.

Пермутације

Апликације

Да бисте разумели шта је пермутација, важно је објаснити шта је комбинација како бисте их могли разликовати и знати када их користити.

Комбинација би била распоред елемената у коме нас не занима положај који сваки од њих заузима.

Пермутација би, с друге стране, била распоред елемената у којима нас занима положај који сваки од њих заузима.

Дајмо пример да боље схватимо разлику.

Пример

Замислимо класу са 35 ученика и са следећим ситуацијама:

1. Наставник жели да му три ученика помогну да одржавају учионицу чистом или да по потреби предају материјале осталим ученицима.
2. Наставник жели да именује делегате у класи (председника, помоћника и финансијера).

Решење би било следеће:

1. Замислимо да се гласањем, Јуан, Мариа и Луциа бирају како би очистили час или предали материјале. Очигледно су могле да се формирају и друге групе од три, међу 35 могућих ученика.

Морамо се запитати следеће: да ли је редослед или положај сваког ученика важан при њиховом одабиру?

Ако мало размислимо, видимо да то заиста није важно, јер ће група за два задатка бити задужена једнако. У овом случају, то је комбинација, јер нас не занима положај елемената.

1. Замислимо сада да је Јуан изабран за председника, Марија за помоћника, а Луциа за финансијера.

Да ли би у овом случају било битно? Одговор је да, јер ако променимо елементе, резултат се мења. То јест, ако уместо да Јуана поставимо за председника, ставимо га за помоћника, а Марију за председника, коначни резултат би се променио. У овом случају то је пермутација.

Једном када се разлика схвати, добићемо формуле за пермутације и комбинације. Међутим, прво морамо дефинисати појам "н!" (ене фактографски), јер ће се користити у различитим формулама.

н! = производ од 1 до н.

н! = 1 к 2 к 3 к 4 к ……… ..кн

Користећи га са стварним бројевима:

10! = 1 к 2 к 3 к 4 к ……… к 10 = 3,628,800

5! = 1 к 2 к 3 к 4 к ……… к 5 = 120

Формула пермутација била би следећа:

нПр = н! / (нр)!

Помоћу ње можемо сазнати аранжмане где је редослед важан и где су н елементи различити.

Комбинације

Апликације

Као што смо раније коментарисали, комбинације су распореди у којима нам није стало до положаја елемената.

Његова формула је следећа:

нЦр = н! / (нр)! р!

Пример

Ако постоји 14 ученика који желе добровољно да очисте учионицу, колико група за чишћење може бити формирано ако у свакој групи мора бити 5 људи?

Стога би рјешење било сљедеће:

н = 14, р = 5

14Ц5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 к 13 к 12 к 11 к 10 к 9! / 9! 5! = 2002 групе

Решене вежбе

Вежба 1

Извор: Пикабаи.цом

Мајка Наталију тражи да оде у продавницу и купи јој сода да се охлади. Када Наталиа пита службеницу за пиће, он јој говори да постоје четири укуса безалкохолних пића, три врсте и три величине.

Окуси безалкохолних пића могу бити: кола, лимун, поморанџа и метвица.

Врсте кола могу бити: редовна, без шећера, без кофеина.

Величине могу бити: мале, средње и велике.

Наталијина мајка није прецизирала какво безалкохолно пиће жели. Колико начина Наталија мора да купи пиће?

Решење

М = Величина и број типа који можете изабрати када одаберете кола.

Н = Број величина и врсте које можете изабрати приликом бирања лимунске соде.

В = Величина и број типа који можете изабрати када одаберете соду соду.

И = Величина и број врсте који можете одабрати када бирате соду од метвице.

Изводимо принцип мултипликатора:

М = 3 × 3 = 9 начина

Н = 3 × 3 = 9 начина

В = 3 × 3 = 9 начина

И = 3 × 3 = 9 начина

М + Н + В + И = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 начина за одабир соде.

Вежба 2

Извор: пикабаи.цом

Спортски клуб оглашава радионице за бесплатан приступ деци која су научила да ролају. Уписано је 20 деце, па су одлучили да их поделе у две групе од по десет људи како би инструктори лакше предавали часове.

Заузврат, они одлучују нацртати у коју ће групу свако дете пасти. Колико различитих група би дете могло да уђе?

Решење

У овом случају, начин проналажења одговора је употреба комбинационе технике, чија је формула била: нЦр = н! / (Нр)! Р!

н = 20 (број деце)

р = 10 (величина групе)

20Ц10 = 20! / (20 - 10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 к 19 к 18 к 17 к 16 к 15к 14к 13к 12к 11к 10! / 10! 10! = 184,756 група.

Референце

1. Јеффреи, РЦ, Вјероватноћа и умјетност просудбе, Цамбридге Университи Пресс. (1992).
2. Виллиам Феллер, "Увод у теорију вероватноће и њене примене", (вол. 1), 3. изд, (1968), Вилеи
3. Финетти, Бруно де (1970). "Логички темељи и мерење субјективне вероватноће". Ацта Псицхологица.
4. Хогг, Роберт В .; Цраиг, Аллен; МцКеан, Јосепх В. (2004). Увод у математичку статистику (6. изд.). Горње седло реке: Пеарсон.
5. Франклин, Ј. (2001) Наука о конструкцији: докази и вероватноћа пре Паскала, Јохнс Хопкинс Университи Пресс.